圆系方程教学目标：熟悉并掌握各种圆系方程；能用圆系方程快速求解曲线方程。知识要点：圆系方程的建立题型的转化经典题型题型一、过两圆交点的圆系若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交于A、B两点，则过A、B两点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0)(λ≠－1)．当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程．题型二、过圆与直线交点的圆系设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线L：ax＋by＋c=0交于A、B两点，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)=0表示过A、B两点的圆系方程．若圆C与直线L切于点A，则方程表示与直线L：ax＋by＋c=0相切于A点的圆系方程．例2、已知圆x2＋y2＋x－6y＋m=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，若以PQ为直径的圆过原点，求m的值．例3、求证圆系x2＋y2＋2λx＋(4λ＋10)y＋20＋10λ=0中任意两圆相切于同一点，并求出切点坐标．题型三、与已知圆切于圆上一定点的圆系与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0切于点P(x0，y0)的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)=0(λ≠－1)，当λ=－1时，方程表示过P(x0，y0)的切线方程．例4、求经过A(4，－1)且与已知圆x2＋y2＋2x－6y＋5=0切于B(1，2)的圆的方程．题型四、过一定点的圆系过定点P(x0，y0)的圆系方程为：(x－x0)2＋(y－y0)2＋m(x－x0)＋n(y－y0)=0．例5、求过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的一般方程．题型五、过两定点的圆系过两已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＋λ[(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)]=0，方程的前半部分为以AB为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB为直径的圆的方程．例6、求过点A(5，2)和B(3，－2)且圆心在直线2x－y=3上的圆的方程．例7、求与已知圆x2＋y2－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直线2x－3y－1=0且过(－2，3)，(1，4)两点的圆的方程．总之，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2与一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0都有三个参数a、b、r与D、E、F，而上述五种形式的圆系方程只有一个(或两个)参数λ，故灵活利用圆系方程可大大减少运算量，从而迅速求得所求圆的方程．