哈工大概率论小论文篇一：哈工大概率论小论文概率论课程小论文计算机科学与技术学院信息平安专业一班(1303201)姓名：宫庆红学号：1130320103概率论中用到的几种数学思想作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进展简单的讨论。一．概率论中的数学归纳法思想在概率征询题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论,这些结论在使用数学归纳法来证明时,常常需要配合使用全概率公式,从而使概率论中的数学归纳法具有本人的特色。例l设有冷个罐子,在每一个罐子中各有m个白球与k个黑球,从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中,并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。分析:先探究规律,设n=2令H1=“从第一个罐子中取出一个球,是白球”H2=“从第二个罐子中取出一个球,是白球”显然P(H1)=mm?k,所求之概率P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1)=mm?1kmm????m?km?k?1m?km?k?1m?k这恰与n=1时的结论是一样的，因此能够预见，不管n为什么自然数，所求的概率都应是m。m?k上述预测的正确性是特别容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即P(Ht)=mm?k那么当n=t+1时，有P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’)mm?1kmm????m?km?k?1m?km?k?1m?kk因此，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。m?k=不难看出，在这里数学归纳法之因此能顺利进展，那是由于在明白从第t个罐中取出的球的颜色（比方是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全明晰了。（相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球）因此相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。m?k?1m?k?1二．概率论中的微积分思想在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的根底。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得注重的征询题。如今，简单归纳一些征询题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。幂级数方法例1设随机变量ξ服从参数为（r,p）的负二项分布，（r≧1,0lt;plt;1）,即P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p,求E(ξ).解这道题的解题过程中要用到公式1(1?x)??Cmxr?1m?r?rm?r。?1n这个公式是有??x(0?x?1)连续逐项求导r次后得到的。事1?xn?0实上E(?)??mCm?1pr?1m?r?rqm?r?rp?Cqrm?rmr?m?r?rpr1(1?q)?r?1r.p三．概率论中的集合论思想集合论是在十九世纪末由德国数学家康托创立的,以后逐步开展构成一门独立学科,现已浸透到数学的各个分支。早在上世纪30年代初,冯#米泽斯就开场用集合论观点研究事件。以下主要讨论集合论观点在概率论中的应用。概率论中有关事件与概率部分内容,概念、公式繁多,难以理解,以下结合集合论知识可直观地理解概率论中根本知识。1集合及运算1.1集合及事件。集合是一个原始概念,康托曾如此描绘过它:集合确实是由某些确定的能够区分的对象(详细的或抽象的事物)聚拢而成的一个整体。组成集合的每一个对象(事物)称为该集合的元素。假设集合A中的所有元素都是集合B的元素,称A为B的子集。概率论中引进集合论,用集合来研究事件,使得概率论的研究更加严格化。将随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间,用Ω表示。样本空间的每一个元素即试验的每一个可能的结果,称为根本领件或样本点,用w表示。而随机事件由假设干个根本领件组成,可看作样本空间的一个子集,用A、B、C表示。在一次试验中出现的样本点w?A?事件A发生,反之,假设w?A?事件A不发生。Ω是本身的子集,每次试验中必定发生,称必定事件。空集?也是样本空间的子集,在每次试验中不可能发生,称不可能事件。1.2集合的关系及运算。集合的关系和运算有:包含、相等、并、交、差、补、对称差。而用集合论观点定义的事件也有相应的关系及运算:包含、相等、和、交、互不相容、差、对立、对称差。集合论中,通常用文氏图来表示集合间的关系及运算,全集U用一个矩形表示,矩形中的点表示元素,每个子集用该矩形内的闭区域(常用圆形区域)表示。类似地,当事件间的关系及运算借助于文氏图来表示时,就比拟直观,易于理解、掌握。1.3运算律。集合的运算律对事件同样适用,运算律包括否认律、幂等律、交换律、结合律、分配