中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数填空题：（每小题6分，共30分）设四阶方阵，，其中为4维列向量，若，则。设六阶方阵的秩等于4，则的伴随矩阵的秩等于。设三阶方阵的行列式，为的逆矩阵，为的伴随矩阵，则。设为阶可逆矩阵，如果交换的第行与第行得到，则。设为阶方阵，若，秩秩，则数必为的特征值。（本题满分20分）设是数域上的一个次多项式，这里，且设的一阶微商可以整除。证明，这里。（本题满分20分）解方程组其中为互不相同的常数。（本题满分25分）设是一个数域是中的一个矩阵，令证明：（1）是的一个线性子空间；（2）可以找到非负整数，使是的一组基；（3）的维数等于的最小多项式的次数。（本题满分25分）设是实数域上的2维向量空间，是线性变换。求在基下的矩阵；证明对于每个实数，线性变化是可逆变换，这里是上的恒等变换；设在的某一基下的矩阵为证明乘积不等于零。（本题满分20分）设为矩阵。证明：如果，那么秩+秩。（本题满分10分）设，若矩阵是正定的，证明也正定。