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中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目：高等代数下面的均为阶单位矩阵。填空。（5分×5=25分）当______时，向量能由向量，线性表示。假设阶方阵满足，则的特征值为______。已知阶方阵满足，则______。设是阶方阵，满足（是的转置矩阵），，则______。设阶实对称矩阵的特征值分别为，则当满足______时，为正定矩阵。计算阶行列式。（15分）证明方程组有解的充要条件是，在有解的情况下求出它的一切解。（15分）证明，若方程的两个跟和有关系式，则。（15分）（20分）证明：向量是维向量空间的一组基。求向量在此基下的坐标。设，证明当时，有，并求（为3阶单位矩阵）。（20分）设实二次型，证明：的秩等于矩阵的秩。（20分）设、分别为阶正定矩阵和半正定矩阵，证明，且仅当时取等号。（20分）
