社科赛斯数列经典模型下面介绍求简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题以下记A（N）为数列第N项1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求数列通项公式解：由题意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]即A（N）+1是以2为首项，2为公比的等比数列因此A(N)+1=2^N数列通项公式为A(N)=2^N-12、通用算法已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求数列通项公式解：设A（N）+X=P*[A（N-1）+X]解得X=Q/（P-1）因此A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）为首项，P为公比的等比数列由此可算出A（N）通项公式3、已知A1和A2，A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求数列通项公式解题思路：设A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出A（N）+X*A（N-1）的通项公式再解二元一次方程得出A（N）注：可能只有一组解，但另有解决办法。4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。解：设A（N）为球数为N时满足条件的放法（以下称无配对放法）总数，易知A1=0，A2=1当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A（N-2）在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，放法总数为：A（N-1）因此有A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]上式可变换为：A（N）-NA（N-1）=-[A（N-1）-（N-1）*A（N-2）]按等比数列得出：A（N）-NA（N-1）=（-1）^N上式除以N！得出：A（N）A（N-1）（-1）^N-------=----------------+-----------------N！（N-1）！N！把A（N）/N！当作新的数列，把（-1）^N/N！也作为一个数列则A（N）等于数列（-1）^N/N！从第二项到第N项的和再乘以N另外可得出：N球恰有K球与盒子配对的放法总数为：C（N，K）*A（N-K）