《微积分A》习题解答习题1.7(P77)1.求下列各极限.⎛1⎞(1).lim⎜1−⎟cosn⎜n⎟n→∞⎝2⎠n⎛1⎞⎛2−1⎞解：lim⎜1−⎟cosn=lim⎜⎟cosnn→∞⎜n⎟n→∞⎜n⎟⎝2⎠⎝2⎠n⎛2−1⎞0因为lim⎜⎟==0，cosn≤1，n→∞⎜n⎟1⎝2⎠⎛1⎞故lim⎜1−⎟cosn=0⎜n⎟n→∞⎝2⎠(2x−1)30⋅(3x−2)20(2).limx→∞(2x+1)5012(2−)30⋅(3−)20(2x−1)30⋅(3x−2)20分子分母解：limlimxxx→∞5050x→∞1(2x+1)同除x(2+)50x20230⋅320⎛3⎞==⎜⎟250⎝2⎠⎛1222n2⎞(3)．lim⎜+++⎟⎜33L3⎟n→∞⎝nnn⎠⎛1222n2⎞n(n+1)(2n+1)1解：lim⎜+++⎟=lim=⎜33L3⎟3n→∞⎝nnn⎠n→∞6n31−cosx(4)．limx→0(ex−1)ln(1+x)1−cosxx221解：lim=lim=x→0(ex−1)ln(1+x)x→0x⋅x2(5)．lim(1+sinx)cotxx→0cosx⎡1⎤解：lim(1+sinx)cotx=lim⎢(1+sinx)sinx⎥=e1=ex→0x→0⎣⎢⎦⎥第1章极限与连续第7节综合例题1/12《微积分A》习题解答1−x⎛1+x⎞1−x(6)．lim⎜⎟x→1⎝2+x⎠1−x11⎛1+x⎞1−x⎛1+x⎞1+x⎛2⎞2解：lim⎜⎟=lim⎜⎟=⎜⎟x→1⎝2+x⎠x→1⎝2+x⎠⎝3⎠nnn⎛a+b⎞(7)．lim⎜⎟(a>0,b>0)n→∞⎜2⎟⎝⎠⎛xx⎞⎜a−1+b−1⎟nnnxxxlimxln⎜1+⎟⎛⎞⎛⎞x→+∞⎜2⎟⎜a+b⎟⎜a+b⎟⎝⎠解：lim=lim=en→∞⎜2⎟x→+∞⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎛xx⎞⎜a−1+b−1⎟xxlimxln⎜1+⎟a−1+b−1x→+∞⎜2⎟无穷小limx()⎝⎠x→+∞2=ee替换1⎡xx⎤⎢limx(a−1)+limx(b−1)⎥2⎣⎢x→+∞x→+∞⎦⎥=e1⎡11⎤1⎢limx(lna)+limx(lnb)⎥[]lna+lnb2⎣x→+∞xx→+∞x⎦2=e=e=ab1x⎛1⎞（8）．lim⎜+2x⎟x→∞⎜x⎟⎝⎠⎛1⎞⎜1⎟1xlimxln⎜1+(+2x−1)⎟1x1x⎛⎞x→∞⎜⎟limx(+2−1)⎜1x⎟⎝⎠x→∞x解：lim+2=e=ex→∞⎜x⎟⎝⎠1111+limx(2x−1)无穷小1+limx(2x−1)1+limx(ln2)x→∞x→∞x→∞x1+ln2=ee=e=e=2e替换1+xsinx−1(9).lim2x→0ex−1第1章极限与连续第7节综合例题2/12《微积分A》习题解答1+xsinx−1xsinx2x⋅x21解：lim=lim=lim=222x→0ex−1x→0xx→0x21(10).lim[1+ln(1+x)]xx→01111limln[1+ln(1+x)]limln(1+x)lim⋅xxx→0xx→0xx→0x解：lim[1+ln(1+x)]=e=e=e=ex→04x2+x−1+x−1(11)．limx→−∞x2+sinx1114+−−1+4x2+x−1+x−1分子分母xx2x解：limlim=1x→−∞2同除−xx→−∞sinxx+sinx1+x212(12)．lim(cosx)ln(1+x)x→01ln[1+(cosx−1)](cosx−1)2lim2lim2ln(1+x)x→0ln(1+x)x→0x解：lim(cosx)=e=ex→0−x22lim1x2−=ex→0=e22(13)．lim(1+3x)sinxx→02ln(1+3x)2⋅(3x)2limlim解：lim(1+3x)sinx=ex→0sinx=ex→0sinx=e6x→03−x−1+x(14)．limx→1x2+x−23−x−1+x分子有2(1−x)解：limlimx→1x2+x−2理化x→1(x+2)(x−1)(3−x+1+x)−22=lim=−x→1(x+2)(3−x+1+x)6第1章极限与连续第7节综合例题3/12《微积分A》习题解答12(15)．limex+1(1+exsin2x)1+x−1x→011x+1x21+x2−1x+