《微积分A》习题解答习题3.7(P201)1．选择题sin6x+xf(x)6+f(x)(1)若lim=0，则lim=()x→0x3x→0x2A.0B.6C.36D.∞6+f(x)(6x−sin6x)+(sin6x+xf(x))解：lim=limx→0x2x→0x36x−sin6xsin6x+xf(x)6x−sin6x=lim+lim=limx→0x3x→0x3x→0x31346x−[6x−(6x)+o(x)]34由泰勒3！36x+o(x)lim=lim=36，故选（C）.公式x→0x3x→0x3(2)设函数f()x在(,)−∞+∞内连续，其导函数f′()x的图形如图3-32所示，则f()x有y()A.一个极小点和两个极大点.B.两个极小点和一个极大点.oxC.两个极小点和两个极大点.D.三个极小点和一个极大点.图3−32解：由图可知共有3个驻点及一个不可导，即只有这四个点可能是极值点，设这四个点从左至右依次为x1、、、x2x3x4.在点x1附近，其导数是从正变负，故该点是极大值点;在点x2附近，其导数是从负变正，故该点是极小值点；在点x3附近，其导数是从正变负，故该点是极大值点；在点x4附近，其导数是从负变正，故该点是极小值点；故选（C）.(3)设函数y=f()x满足关系式y′′−2y′+4y=0，且f(x0)>0，f′(x0)=0则f()x在点x0处()A.有极大值.B.有极小值.C.在x0的某邻域内，f()x单调增加.D.在x0的某邻域内，f()x单调减少.第3章微分中值定理及其应用第7节综合例题1/16《微积分A》习题解答解：由f(x0)>0，f′(x0)=0及题设的关系式可得：y′′()2()4()04()x0=y′x0−yx0=−yx0=−4()0fx0<由极值存在的第二充分条件知：f()x在x0处取得极大值.故选（A）.11(4)方程x4+x2−cosx=0在(,)−∞+∞内有()个根A.0B.1C.2D.无穷多11解：设f()x=x4+x2−cosx，由于f()x是偶函数，且f(0)=−1≠0，故我们可在11(0,+∞)上讨论，即f()x=x4+x2−cosxx∈(0,+∞)11当x∈[1,+∞)时，f()x=x4+x2−cosx≥1+1−1=1≠011即当x∈[1,+∞)时，方程x4+x2−cosx=0没有根311−1−当x∈(0,1)时，f′()x=x4+x2+sinx>0+0+0=042即当x∈(0,1)时，f()x单调增加，又f(0)=−1<0，f(1)≥1>0，由零点定理及单调性得：存在惟一的ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0，即ξ是方程1111x4+x2−cosx=0的根，又由偶函数的性质知：−ξ也是方程x4+x2−cosx=0的根.故选（C）.(5)已知函数f()x在区间(1−δ,1+δ)内具有二阶导数，f′()x严格单调减少，且f(1)=f′(1)=1，则()A.在区间(1−δ,1)和(1,1+δ)内均有f()x<xB.在区间(1−δ,1)和(1,1+δ)内均有f()x>xC.在区间(1−δ,1)内f()x<x，在区间(1,1+δ)内f()x>xD.在区间(1−δ,1)内f()x>x，在区间(1,1+δ)内f()x<x解：因为f()x在区间(1−δ,1+δ)内具有二阶导数，f′()x严格单调减少，故在区间(1−δ,1+δ)内，f′′(x)<0，由泰勒公式，在(1−δ,1+δ)内有第3章微分中值定理及其应用第7节综合例题2/16《微积分A》习题解答2f(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f′′(ξ)(x−1)22=1+1×(x−1)+f′′(ξ)(x−1)=x+f′′(ξ)(x−1)<x故选（A）.(6)设f()x与g()x在点x=a处二阶可导，且皆取得极大值，则函数F()()()x=fxgx在点x=a处()A.必取极大值B.必取极小值C.不可能取极值D.不能确定是否取极值解：不能确定是否取极值.例如：⎧−1−x6x≤0f(x)=1−x4，g()x=，考察点x=0处⎨4⎩−1−2xx>0显然，函数f()x在点x=0处二阶可导，且取得极大值；6g(x)−g(0)−1−x−(−1)5g−′(0)=lim=lim=lim−x=0x→0−x−0x→0−xx→0−4g(x)−g(0)−1−2x−(−1)3g+′(0)=lim=lim=lim−2x=0x→0+x−0x→0+xx→0+即g′(0)=0⎧−6x5x≤0