任丽伟第页泛函分析讲义--2泛函分析讲义第二讲：距离空间中的点集关键词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包；稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质；介绍可分空间的定义开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。定义1.设，，以为中心，以为半径的开球称为的一个球形邻域，简称为邻域。设若存在的一个邻域则称是G的一个内点。若G中每一个点都是它的内点，则称G为开集。例1．开球都是开集。证明：设为开球。任取,即,令),,即,则∴即为开集.定理1设为距离空间,则(1)空集全空间是开集.(2)任意多个开集之并是开集.(3)有限个开集之交是开集.证明：设是一族开集，证明为开集。对，，使，由是开集，则存在的一个邻域，从而.∴是的一个内点，从而为开集。(3).设是开集，，证明是开集。对，则，由是开集，则存在的一个邻域，令，则从而，.从而，所以为开集。定义2设，，，若的任何邻域满足，则称是的一个聚点。其等价条件为：(2)的任何邻域都含有的无穷多个点；(3)，，但.证明：(1)(2)：若存在x的一个邻域里面只含有的有限个点不妨认为它们都异于取}。则.这与是的聚点相矛盾。(2)(1)：显然。(1)(3)：设是的聚点，取，则的邻域中必含有的点，所以，令，则有.(3)(1)：设为的一个邻域，由，，知存在，当时，，即因此是的一个聚点。设={|为的聚点}，若，则称为闭集。闭，则。证明：，设，.要证明。若存在某，则自然有。否则不妨认为，则，又，则。，证明：。，在中存在，。由已知，得。令为的闭包。，，定义3设，，若，使或，则称是的一个孤立点。定理2设，，则下列两条等价：(1).是闭集；(2).是开集。证明：：由是闭集，则，则。任取，则不是的聚点。则存在的一个邻域，则，所以是的一个内点。所以是开集。：已知是开集，要证，即，对，由是开集，存在的一个邻域，即中不含中的点，所以，即，所以是闭集。定理3中，是闭集.定理4给定，则(1)空集和全空间是闭集；(2)有限多个闭集之并是闭集；(3)任意多个闭集之交是闭集。证明：利用定理2，以及德摩根公式，如果是闭集，是开集。由开集性质，是开集，∴是闭集。定理5设,则和都是闭集。证明：先证是闭集。需证.设。任取,对，。设，取>0。可知，事实上，对，即，则有且（或）。又，故，设，则.所以.因此即,则为闭。下面证为闭集。设,则对中含有中不同于的点.由于.所以或.若,则中含有的不同于的点.而.所以。若也有.总之中含有的不同于的点。故,即,所以为闭集。定理6给定则(1)，则；(2)若、，则；(3)。离空间的稠密集定义4给定，、，若，则称在中稠密。若在中稠密，即，称是的稠密子集。定义5给定，若中存在可数的稠密子集，则称是可分的。例2．维欧氏空间是可分的。证明：为个坐标全为有理数的点组成的集合，则可数，现在证明=。对于，，由于在中稠密（），对及，，使，即，.令，则，∴∴∴=，即在中稠密，是可分的。例2．是可分的。证明：对于，，由维尔斯特拉斯一致逼近定理（设是上定义的连续函数，那么对，存在多项式，使在上一致成立），存在一个多项式，使得另一方面，又有一个有理系数多项式，使得所以有令表示所有有理系数多项式所组成的集合，为可数集，则，所以是可分的。此外，、、都是可分的。注：有界序列空间是不可分的。