任丽伟第页泛函分析讲义--1泛函分析讲义第一讲：距离空间关键词：距离、距离空间、三角不等式、收敛主要内容：介绍距离空间的定义、点列收敛及其性质定义1.设是一个非空集合，若对于中的任意两点和，有唯一确定的实数与之对应且满足条件：(1).，=0（非负性）(2).=（对称性）(3).+（三角不等式）那么称是以为距离的距离空间，记为，为间的距离。条件(1)—(3)常称作距离公理。为的子空间，仍以为距离。例1．维欧氏空间，对于中任意两点，规定距离例2．={：在上连续}，，规定例3．使.，令.例4．设0<mE<S(E)表示定义在上的几乎处处有限的可侧函数全体（当f~g时，f、g不加区别）。任取f、g规定则为距离空间.例5．设表示一切实数列全体所组成的集合，任取，，规定距离，则为距离空间。例6L={f:}(，对于,规定距离例7，对于规定距离有了距离空间概念，下面引入点列收敛的概念。定义2设是一个距离空间，,若时,则称{x}按距离收敛于,记作lim.这时称{为收敛点列,称为{的极限.下面是距离空间中关于点列收敛的简单性质。定理1距离空间中收敛点列的极限是唯一的。定理2若则{的任何子列定义3给定>0.叫作内以为中心,以为半径的开球.(叫作内以为中心,以为半径的闭球。定理3设{是中的收敛点列,则{是有界集.下面讨论一些距离空间中点列收敛的具体含义：．令，，则，．即点列的收敛相当于依坐标收敛．（证略）设,则在上一致收敛于证明:(略).3.设则4．s空间.设，，则，