西南林业大学力学竞赛模拟题及答案5一、（25分）图1示等截面细圆环，横截面为圆形，承受均布力偶矩(其矢量均沿圆环切线方向)作用。实验告诉我们：力偶矩集度m增大时，圆环横截面转角也随之增大；当m增大到某一临界值时，圆环会突然翻转。试确定此翻转力偶矩集度之值。图a图1图b解答一、设圆环横截面上点沿圆环半径方向的位移(图a)为(a)该点所在的环向纤维的正应变(以缩短为正)为(b)将式(a)代入式(b)，得(c)根据胡克定律，横截面上点的正应力为(d)由半个圆环的平衡条件可知，横截面上的弯矩(图b)为(e)由横截面上的构成关系可得(f)将式(d)代入式(f)并完成积分，得将式(e)代入上式，得(g)这就是随增大而增大的函数关系。由式(g)可知，当时，达到最大值．若继续增大φ角，所需m反而会减小，故这里的最大值正是力偶矩集度的临界值，当m达到此值后，圆环会发生突然翻转(或称“跳跃”)．由式(g)易得，此翻转力偶矩集度为二、（30分）一个小孩在平面上沿一曲线行走，此曲线由两个时间的函数X(t)和Y(t)确定。假设小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具，试推导玩具满足的微分方程。解：如图a所示，设玩具的位置可以采用直角坐标和活动的极坐标表示．它们的变换关系是图a（1）有(2）（3）将（2）代入（1）中可得：于是：（4）将（1）、（2）代人（4）式可得：三、（20分）一梯子AB架在墙与地面之间，当未处于临界状态时，梯子两端所受的来自墙或地面的反力与其摩擦力如图2所示．对于这样一个平面力系，如何用平衡方程求这4个未知力?图2解：采用沿着梯子长度方向建立坐标系，力沿此分解，即可获解，参见图7所示但这种解法是错误的．可以从几个方面看出：首先，根据静力学的基本知识，平面力系单刚体只有3个独立的平衡方程，因此只能求出3个未知数(包括大小和方向)．图7中把A处的力画为垂直于AB方向，是没有根据的．其次，摩擦问题通常都是静不定问题，所有静力学可以求解的摩擦问题，一定会有一个补充条件，如“最大”或“最小”等极限条件，如果没有这一类的补充条件，就无法用静力学知识解出．最后，从解的表达式看，A处的摩擦力与压力暗含了一个条件：而这一条件题目中根本没有提到，因此也从反面证明该解是错误的．因此本题的正确答案是：无解．四、（25分）在机器设备中，常常会遇到一些钢丝软轴(又称挠性轴)，它们的作用是传递扭矩，它们的突出优点是可以改变轴端之间的距离及轴端力偶矢的方向，给需要扭矩且处于运动状态的部件带来极大的方便(图3)．一根曲曲弯弯的钢丝软轴怎么能传递扭矩呢?奥妙究竟在哪儿呢?图3解：一根曲曲弯弯的钢丝软轴怎么能传递扭矩呢?奥妙究竟在哪儿呢?通过受力分析不难找到答案．原来，包轴的套管的协同工作起着至关重要的作用．我们知道，钢丝软轴在弯曲段传递正扭矩时，两端的扭矩矢量将合成一指向软轴弧线法向内侧的合矢量T(图8)，为了使此弯曲段平衡，该轴段上还必须有一反向的力偶矢量T’存在，且在数值上要满足:图8图9是谁提供的，是怎样形成的呢?为了回答这个问题，首先假定套管不可压缩，且与软轴光滑接触(可通过注油来实现)，彼此只有沿接触面法线方向的约束反力。我们知道，一根平面曲杆在发生扭转变形时，其两端有离开轴线所在平面的趋势．若无阻碍(约束)，两端就会产生方向相反的离面位移；例如置于铅垂平面内的上凹平面曲杆，在受到正扭矩作用时，其在左半段有指向纸面外的离面位移，右半段有指向纸面内的离面位移，其俯视图如图9中的下图．如果有约束，则会产生相应的约束反力．如果是点接触形式的约束，相应会产生集中力形式的约束反力；如果是线接触形式的约束，则会产生分布力形式的约束反力．套在软轴外面的不可压缩的套管给软轴弯曲部分左右段提供的正是这种分布形式的约束反力，如图10所示．由图可知，这些分布约束反力对弯曲段的软轴所起的作用，恰好是构成一个约束反力偶矩T(其合矢量为)与软轴在此段传递的扭矩(其合矢量为T，见图8)相平衡．这正是曲曲弯弯的钢丝软轴之所以能够变着方向传递扭矩的本质原因。图10钢丝软轴一端输入的力偶矩，通过这种带有套管的软轴的传递，最终可传到输出端，带动工作部件完成预定的加工任务或实验任务．至于套管中所受的扭矩，最终则传给了固定在机体上的法兰盘．