www.czsx.com.cn--第九讲统计与概率【趣题引路】1991年1月美国人塞望(M.Savan)女士在《检阅》杂志上刊登了一则趣题,当时曾引来了从小学生到大学教授上万封来信讨论.题目是:主持人指着三扇关闭的门,说:“其中两扇门是空的，有一扇门里有１辆车，请你选一扇门，如果选中了有车的那一扇，就可开走这辆车。”同时问约翰：“你是否愿意重选另一扇未被打开的门？”请你帮助约翰出个注意。解析由概率理论应该换，若不换的话得到车的概率是；若换的话得到车的概率是。【知识延伸】自从出现了人类社会，就不可避免地产生社会性的生产活动、经济活动、教育活动和军事活动，这些活动中处处都有数据存在，于是也就出现了各种统计工作，如人口统计、资源统计、经济统计等等。统计学是一门与数据密切相关的学问，研究如何搜集、整理、计算和分析数据，然后从中找出一些规律。众数、中位数、平均数都是从不同的侧面反映了一组数据的集中趋势；方差则是反映一组数据波动大小的量；频率分布表和频率分布直方图则是从数和形的角度反映了落在某一范围内数据的大小。在日常生活中概率也是应用最广的运算。如早晨如上学，要不要带雨具，就要根据“降水概率”的大小来决定；又如每个家庭除了日常生活开支之外，都要有点积蓄，因为对于一个有学前儿童的家庭来说，儿童从六岁起要进行九年义务教育，需要各种开支，这是必然事件；家庭成员在某种情况下可能会生病，这是随机事件。不管你是自觉的，还是不自觉的，概率都在我们的头脑中起作用。事件Ａ的概率(Probability)用P(A)来表示，有0≤P(A)≤1,若A是必然事件，则它的概率是１，即P(A)=1;若A是不可能事件，则它的概率是０，即P(A)=0。一般地，在大量重复进行同一试验时，如果事件Ａ发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做事件Ａ的概率，记为P(A).例1在桌面上掷若干枚硬币,回答下列问题:(1)3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,第3枚出现正面的概率是多少?(2)3枚硬币,其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是多少?(3)3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,问第3枚出现正面的概率是多少?解析(1)设“依次掷3枚硬币,第1枚出现正面,第2枚出现反面,第3枚出现正面”这一事件为A,“第1枚出现正面”这一事件为A1,“第2枚出现反面”这一事件为A2,“第3枚出现正面”这一事件为A3,则事件A的发生过程包含三步:先发生事件A1,再发生事件A2,最后发生事件A3,P(A1)、P(A2)、P(A3)都是,所以P(A)=P(A1)×P(A2)×P(A3)=××=.(2)因为掷3枚硬币从其正反面的情况来看共有8种可能:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).其中“2正1反”的情况共有3种,所以3枚硬币其中2枚出现正面,1枚出现反面的概率是.(3)因为第3枚出现正面还是反面与前两枚的结果无关,所以第3枚出现正面的概率仍为.点评(1)中首先要求事件A1出现,在这个条件下有事件A2出现,然后再有事件A3出现,这三个事件全部先后发生才意味着事件A出现,所以是相乘关系.(2)(3)两题,虽然3枚硬币的最终情况都是“2正1反”,但题(3)中,由于“第1枚出现正面第2枚出现反面”的前提已经存在,因此只要考虑“第3枚出现正面”的概率.例2已知一组数x1出现f1次,x2出现f2次,…xk出现fk次,且f1+f2+…+fk=n,求f1(x1-)+f2(x1-)+…+fk(xk-)的值,(是这n个数的平均数).解析:∵==∴f1x1+f2x2+…+fkxk=n.∴f1(x1-)+f2(x2-)+…+fk(xk-)=(f1x1+f2x2+…+fkxk)-(f1+f2+…fk)=n-n=0.点评这是应用加权平均数公式,在推导过程注意灵活运用公式和法则.【好题妙解】佳题新题品味例1(1)五个数3,1,6,3,x的平均数是4,求x;(2)一组数据x1,x2,…,xn的方差是a,则x1-2,x2-2,…,xn-2的方差是多少?(3)某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别是0.24,0.28,0.19,求这个射手在这次射击中:①射中10环或9环的概率;②不够8环的概率.解析(1)由题意知(1+3+3+6+x)=4,解得x=7;(2)设x1,x2,…,xn的平均数为x,则a=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].数x1-2,x2-2,…,xn-2的平均数为[(x1-2)+(x2-2)+…+(xn-2)]=(x1+x2+…+xn)-2=-2,∴x1-2,x2-2,…,xn-2的方差={