概率论与数理统计第9讲2因此算出X的分布律为二,常用连续型分布1.均匀分布定义2若连续型随机变量X的概率密度为注:在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量X,其取值落在(a,b)中任意等长度的子区间的概率是相同的,且与子区间的长度成正比.事件上,任取子区间(c,c+l)(a,b),由上节例1求得X的分布函数F(x)与f(x)的图形对照如下:例5某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站.如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意,X~U(0,30),为使候车时间X少于5分钟,乘客必须在7:00到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站.故所求概率为2.指数分布定义3若随机变量X的概率密度为f(x)的几何图形如图所示.若X服从参数为l的指数分布,易求出其分布函数注:指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间,因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.服从指数分布的随机变量X具有无记忆性,即对任意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}.(4.10)因为服从指数分布的随机变量X具有无记忆性,即对任意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}.(4.10)若X表示某一元件的寿命,则(4.10)式表明:已知元件已使用了s小时,它总共能使用至少s+t小时的条件概率与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等,即元件对它已经使用过s小时没有记忆,具有这一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.例4某元件的寿命X服从指数分布,已知其参数l=0.001,求3个这样的元件使用1000小时,至少有一个损坏的概率.解由题设知,X的分布函数为解由题设知,X的分布函数为3.正态分布定义4若随机变量X的概率密度为其中利用泊松积分一般来说,一个随机变量如果受到许多随机因素的影响,而其中每一个因素都不起主导作用(作用微小),则它服从正态分布.这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高,体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号噪声,农作物的产量,等等,都服从或近似服从正态分布.正态分布的图形特征正态分布的图形特征f(x)若X~N(m,s2),则X的分布函数为正态分布当m=0,s=1时称为标准正态分布,此时,其密度函数和分布函数常用j(x)和F(x)表示:j(x)标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1设X~N(m,s2),则证明的分布函数为对标准正态分布的分布函数F(x),人们利用近似计算方法计算求出其近似值,并编制了标准正态分布表(见附表)供使用时查用.一些办公软件如Excel也已经能够直接计算任何正态分布的分布函数值,本课程给学生提供的软件t.exe也可以用来当标准正态分布表查用.z标准正态分布表的使用:(1)表中给出了x>0时,F(x)的数值,当x<0时,利用正态分布密度函数的对称性,易见有F(x)=1-F(-x);(2)若X~N(0,1),则由连续型随机变量分布函数的性质2,有P{a<Xb}=P{aXb}=P{aX<b}=P{a<X<b}=F(b)-F(a);(3)若X~N(m,s2),则例5设X~N(1,4),求F(5),P{0<X1.6},P{|X-1|2}解这里m=1,s=2,故X~N(1,4)X~N(1,4)例6将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器的温度定在dºC,液体的温度X(以ºC计)是一个随机变量,且X~N(d,0.52)(1)若d=90ºC,求X小于89ºC的概率;(2)若要求保持液体的温度至少为80ºC的概率不低于0.99,问d至少为多少?X~N(d,0.52)(1)若d=90ºC,求X小于89ºC的概率;解(1)所求概率为X~N(d,0.52)(2)若要求保持液体的温度至少为80ºC的概率不低于0.99,问d至少为多少?(2)按题意需求d满足亦即例7某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人,临时工20人;报考的人数是1657人,考试满分是400分.考试后得知,考试总平均成绩,即m=166分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,问他能否被录取?能否被聘为正式工?解假设每一考生的成绩X服从正态分布,因此m已知为166,s未知,X~N(166,s2),高于360分的考生的频率为31/1657,则查表可知估计分数超过考生B的256分的考生人数有多少,由查表可知P{X>256}16.85%因考生总人数为1657人,名次排在考生B之前的考生人数约有16