数理方法期末考试试卷出题人：林祥栋何俊慧郭维刚宋伟飞刘芳冯亦奇黄海滨张丽华李子银填空题复变函数可导的充分必要条件为u(x,y)，v(x,y)偏导数存在且连续并满足柯西黎曼条件。函数有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。复数__1＋i,。根据柯西公式，积分；。计算题1、计算下列数值.解：因QUOTE=1[QUOTE所以QUOTE=QUOTE[QUOTE+QUOTE或QUOTE=QUOTE(n=0,1,2)2、求出复数QUOTE的三角表示式和指数表示式.解：令z=1+i，则x=1,y=1，QUOTEQUOTE=arctg1=QUOTE则三角式z=QUOTE=QUOTE(QUOTE)指数式z=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE复数QUOTE的指数表示式：QUOTE已知解析函数是由实部和虚部组成，其中实部，求该解析函数.解：已知实部，意味着是调和函数,由柯西—黎曼条件：4、已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数。解：这里用极坐标比较方便，由柯西-里曼条件，即最后5、在挖去奇点z0的环域上或指定的环域上把下列函数展开为罗朗级数.QUOTE在z0=0,在z0=1.解：因为QUOTE注意到在z0=0处QUOTE解析,可展开为泰勒级数,所以，在z0=0:QUOTE+QUOTE(0<|z|<1)(2)注意到在z0=1处QUOTE解析,可展开为泰勒级数,所以，在z0=1:(0<|z-1|<1)6、设F(z)=QUOTE,证明积分QUOTE：a.当c是圆周QUOTE时，等于0；b.当c是圆周QUOTE时，等于4QUOTE;c.当c是圆周QUOTE时，等于-2QUOTE.证明：F(z)=QUOTE,其奇点为z1=2及z2=-2当c是圆周QUOTE时，z1=2及z2=-2均在圆外，F(z)在圆内解析。根据单连通区域上的柯西定理得：QUOTEdz=0当c是圆周QUOTE时，仅z1=2在圆内，F(z)在圆内解析。由柯西积分公式得：QUOTEdz=QUOTEdz=2QUOTE|z=2=QUOTE当c是圆周QUOTE时，仅z2=-2在圆内，F(z)在圆内解析。由柯西积分公式得：QUOTEdz=QUOTEdz=2QUOTE|z=-2=QUOTE用柯西公式求（c不经过0、1，讨论所有的曲线）解：（1）如果回路c不包含0、1点，则f(z)解析∴上式=0（2）如果回路c包含了0，不包含1，则:原式=由柯西公式得，原式=（3）如果回路c包含了1，不包含0，则:原式=由柯西公式得，原式=（4）如果0、1均在回路c的内部，则原式=8、用留数定理计算，其中C为以原点为圆心，半径为3的圆周。解：积分所以9、计算．(留数定理)解：取，孤立点为，其中落在上半平面的为，，故10、在（）这个周期上，，试将它展开为傅立叶级数.解：因为在（）上满足狄氏定理，可以展开为傅立叶级数又所以所以