《概率论与数理统计》试题带答案设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E(X)，E(X2)，E(2X+3).TOC\o"1-5"\h\z【解】(1)E(X)(1)1011121土；82842E(X2)(1)210211212215；82844E(2X3)2E(X)321342已知1个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为X012345PC59583C1C410900340C2C310900070C3C2109007C4C11090UC5。10U.C51.C51C51C51C.“1C5“"1故E(X)0.58300.34010.07020.7304050.501,D(X)5[xE(X))Piii0(00.501>0.583(10.501>0.340(50.501>00.432.设随机变量X的分布律为X101PP1P2P3且已知E(X)=0.1E驼)=0.9求P1,P2，P3.【解】因PPP1......①，123又E(X)(1)P10P12PP33P10.1……②，E(X2)(1)2P02P12PPP0.9......③L2313由①②③联立解得P0.4,P0.1,P0.5.1,.2.3袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E(X)=n,问从袋中任取1球为白球的概率是多少?【解】记A=(从袋中任取1球为白球｝,则P(A)全概率公式NP{A|Xk}P(Xk)lp{Xk}1NkP{Xk)NN设随机变量X的概率密度为.x,0x1,f(x)=2x,lX2,0,其他.求E(X),D(X).【解】E(X)xf(x)dxi-X3X230故D(X)E(X2)1X2dx2x(2x)dx011.3iE(X2)[E(X)1i.6X2f(x)dx1X3dx072X2(2x)dx—i6设随机变量X,Y,Z相互独立，且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ4X.【解】⑴EDJ]E(2X3Y1)2E(X)3EY)15311144.(2)EV]E[rz4X]EBZ]4E(X)因Y,Z独立E<y)E亿)4E(X)1184568.3X2Y),D(2X3Y).设随机变量X,Y相互独立，且E.(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,【解】⑴E(3X2Y)3E(X)2E(V)33233.(2)D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.8.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,k,0x1,0y)=0,yx,其他.试确定常数k,并求E(XY).【解】因f(x,y)dxdyMxxkdy11oo2<L故k=2E(XY)xyf(x,y)dxdy1xdxx2ydy0.25.9.设X,Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2x,0x1,e(y5),y5,[(X)=A0,其他；4(y)=八甘仙丫0,其他.求E(XY).【解】方法一：先求X与Y的均值EY)ye(y5)dy令z-y-55ezdzzezdz516.5•由X与Y的独立性，得E(XY)E(X)EY)64.方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为f(x,y)f(x)f(y)Y•2xen0,(y5),0x其他,i,y5,于是E(XY)4y2xe(y505)dxdy12x2dx0ye(y5)dy364.10.设随机变量X,Y的概率密度分别为f(x)=X2e2x,0,0,0；•4e4y,fY(y)=0,0,0.求(1)E(X+Y);(2)E(2X3Y2).【解】(X)xf(x)dxXe2xdx:x2e2xdx[xe2x]01—.2.e-2xdxE(Y)yf(y)dyy4e4ydyY0cxek2x2,x0,0,x0.E(Myf(y)dy一2y24e4ydy—1.Y0428从而(1)E(XY)E(X)E(Y)--3.244315(2)E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)2-28811.设随机变量X的概率密度为f(X)求(1)系数c;(2)E(X);(3)D(X).c【解】(1)由f(x)dxcxek2x2dx-—-1得c2k2.⑵E(X)xf(x)dx)0x2k2xesdx2k2x2esdx0，2k•⑶E(X2)x2f(x)dx)x22k2xes01.k2故D(