2013中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例1如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2？（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．ABDCE备用图ABDQCPEM解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴△EAM∽△EBP.∵AE＝4cm，BE＝8cm，BP＝tcm，∴AM＝EQ\F(1,2)tcm由S△EAM＝3cm2、∠MAE＝30°、AE＝4cm，得EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)t×2＝3，解得t＝6∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm2（2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM＝EQ\F(1,2)(12－t＋12＋EQ\F(1,2)t)×6＝72－EQ\F(3,2)t∵S△MQD＝EQ\F(1,2)(12＋EQ\F(1,2)t)×EQ\F(1,2)t＝EQ\F(1,8)t2＋3t，S△PCQ＝EQ\F(1,2)(12－t)(12－t)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(t2－24t＋144,4)∴S＝S梯形PCDM－S△MQD－S△PCQ＝－EQ\F(3,8)t2＋EQ\F(3,2)t＋36ABDQCPEM∵S＝－EQ\F(3,8)t2＋EQ\F(3,2)t＋36＝－EQ\F(3,8)(t－2)2＋EQ\F(75,2)∴当t＝2时，△MPQ的面积最大，最大值为EQ\F(75,2)（3）存在，t的值有两个∵△PQE的外心恰好在它的一边上，∴△PQE为直角三角形∵∠PQE＜∠CQE＜90°，∴只能∠EPQ＝90°或∠PEQ＝90°选择求∠EPQ＝90°时的t值（若求∠PEQ＝90°时的t值，则计算相当复杂）∵BP＝DQ，BC＝DC，∴PQ∥BD∴PE⊥BD∵AC⊥BD，∴PE∥AC又∵BA＝BC，∴BP＝BP＝8cm∴当t＝8s时，∠EPQ＝90°例2如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；ACBFED（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．ACBFED解析：（1）证明：连接AC∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°∴∠BAC＝60°，∠B＝60°∴△ABC是正三角形，∴AB＝AC又△AEF为正三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF而∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF（2）当E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4eq\r(,3)由（1）知，S△ABE＝S△ACF∴S四边形AECF＝S△ABC＝EQ\F(eq\r(,3),4)×42＝4eq\r(,3)而△CEF的面积发生变化，其最大值为eq\r(,3)∵S△CEF＝S四边形AECF－S△AEF＝4eq\r(,3)－EQ\F(eq\r(,3),4)AE2当AE⊥BC时，AE的长最小，最小值为AB·sin60°，即AE＝4×EQ\F(eq\r(,3),2)＝2eq\r(,3)∴S△CEF的最大值为4eq\r(,3)－EQ\F(eq\r(,3),4)(2eq\r(,3))2＝eq\r(,3)