www.xkb1.com新课标第一网不用注册，免费下载！新课标第一网系列资料www.xkb1.com小专题(一)矩形中的折叠问题【例】(连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．w!w!w.!x!k!b!1.com【思路点拨】(1)证△ABE≌△CDF，推出AE＝CF，求出DE＝BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE＝30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．【方法归纳】解决有关矩形的折叠问题时，通常方法是利用根据矩形的性质、折叠的对称性及勾股定理求解．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为()A．12B．10C．8D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个xkb1.com3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10cm，AD＝8cm，DE＝6cm.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.xk|b|1(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．xkb18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案【例】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE＝∠EBD＝eq\f(1,2)∠ABD，∠CDF＝eq\f(1,2)∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF，))∴△ABE≌△CDF(ASA)．∴AE＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°.∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，设AE＝x，BE＝2x.根据勾股定理得AB＝eq\r(3)x.∴x＝eq\f(2\r(3),3)，即AE＝eq\f(2\r(3),3).BE＝eq\f(4\r(3),3).∴BC＝AD＝AE＋ED＝AE＋BE＝eq\f(2\r(3),3)＋eq\f(4,3)eq\r(3)＝2eq\r(3).针对训练1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF＝AD＝10cm，在Rt△ABF中，AB＝8cm，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF＝DE，可设DE的长为x，