第十讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科.几何变换是指把一个几何图形％变换成另一个几何图形％的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换.如图1,若把平面图形％上的各点按一定方向移动一定距离得到图形％后，则由的变换叫平移变换.平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等.如图2,若把平面图％绕一定点旋转一个角度得到图形％,则由％到％的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角.旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等.S1通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决.注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换.等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变，而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变.例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB:PC=1:2：3,则ZAPD=.思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形.【例2】如图，在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M,N,使ZMCN=45°，记AM=m,MN=x,DN=n，则TOC\o"1-5"\h\z以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形'「"溥C.钝角三角形D.随x、m、n的变化而改变,〉\（）《匕一£）思路点拨把^ACN绕C点顺时针旋转45°,得ACBD,这样ZACM+ZBCN=45°就集中成一个与NMCN相等的角，在一条直线上的ni、「x、n集中为△DNB,只需判定的形状即可.注下列情形，常实施旋转变换：图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60。、90°;图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°,构造中心对称全等三角形；图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合.【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN//DE,BCIIEF,CDIIAF,对边之差BC-EF=ED-AB=AF-CD>0,求证：该六边形的各角相等./\(全俄数学奥林匹克竞赛题)/思路点拨设法将复杂的条件BC-FF=ED-AB=AF-CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换.注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决.【例4］如图，在等腰Z^ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F,使AE=CF.已知BC=2,求证:EF>1.(西田路占拨本例'F上廿月彳便直接月通寸钥勺集中到同-个三角形中.BG注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：两点间线段最短，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.【例5】如图，等边Z^ABC的边长为a顼2512占，点P是^ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2,若PC=5，求PA、PB的长.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2=PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关()学历训练如图，P是正方形ABCD内一点，现将AABP绕点B顾时针方向旋转能与ACBP，重合，若PB=3,则PP，如图，P是等边△ABC内一点,PA=6,PB=8,PC=10,则NAPB.如图，四边形ABCD中，ABIICD,ZD=2ZB,若AD=a,AB=b，则CD的长为如图，把SBC沿「AB边平移到△A’B'C’的位置，它们.邮叠部分（即图中阴影部分）的面积是5BC的面积的一半，若AB=w'2，则此三角形移动的距离AA是（）A.祯1B.gC.lD.2（22年荆州市中考题）如图，已知△ABC中，AB=AC，ZBAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：①AE=CF;②EPF是等腰直角三角形；③S四边形^「fs△此：④EF=AP.当ZEPF在^ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（23年江苏省苏州市中考题）如图，在四^^.ABCD中，AB=BC，NABC=NCDA=90。，BE1AD于E，S四边形ABCD「d=8,则BE的长为（）A.2B.3C..;3D.2互（24年武汉市选