会计学我们希望引进这样一个(yīɡè)特征数字，它能反映随机变量X所取数值的集中位置，就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样，在概率论中，这样一个(yīɡè)数字就是随机变量的数学期望（也称平均值）.先看一个(yīɡè)例子。观察(guānchá)一名射手20次射击的成绩如下：我们知道，当试验次数增大时，频率的稳定值就是(jiùshì)概率，那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布，相应地，观察到的平均中靶环数x随试验次数增大必将趋于一个稳定值，设中靶环数X（观察之前为随机变量）的分布律为：P{X=i}=pi,i=0,1,2,…,10,/定义(dìngyì)中“绝对收敛”这一条件，是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变，期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均，它也有一个物理的解释。/例1X~b(1,p),求E(X)解因X有分布(fēnbù)律例2设X~p(l),求E(X)解X的分布(fēnbù)律为例3甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品(cìpǐn)数，经统计得以下数据：解根据定义，X1的数学期望(qīwàng)E(X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1所以甲的技术水平比乙低。二、连续型随机变量的数学(shùxué)期望/从几何意义来说，连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线(qūxiàn)y=f(x)与x轴之间的平面图形的重心的横坐标，这是因为上述平面图形的面积为例4设随机变量X在区间(qūjiān)(a,b)内服从均匀分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为例5设X服从参数(cānshù)为l(l>0)的指数分布，求E(X).解由题意知，X的概率密度为例6设随机变量(suíjībiànliànɡ)X服从柯西分布(Cauchy)，概率密度为三、二维随机变量的数学期望对二维随机变量(X,Y)，定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY).设二维随机变量(X,Y)的联合(liánhé)分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….则设二维连续随机变量(suíjībiànliànɡ)(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则例7设(X,Y)的密度(mìdù)函数为解如图所示四、随机变量函数的数学期望为了计算随机变量函数的数学期望，我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是，也可以用下面介绍的几个(jǐɡè)定理直接计算随机变量函数的数学期望。//例8设随机变量(suíjībiànliànɡ)X的分布律为求随机变量函数(hánshù)Y=X2的数学期望．解用两种方法计算方法１先求Y的分布律为求随机变量函数Y=X2的数学期望．解用两种方法(fāngfǎ)计算方法(fāngfǎ)2由公式(7)得E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+120.20+220.15+320.10=2.30例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数(hánshù)Y=sinX的数学期望.解仍用两种方法计算：方法1先利用分布函数(hánshù)法求得Y的概率密度为例9设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布，求随机变量函数Y=sinX的数学期望(qīwàng).解仍用两种方法计算：方法2由题意知，X的概率密度为例10设X~N(0,1),求E(X),E(X2).解/定理3设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布(fēnbù)律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,…,j=1,2,…,g(x,y)是实值连续函数，且级数定理4设二维连续随机变量(X,Y)的联合(liánhé)概率密度函数为f(x,y),g(x,y)是实值连续函数，且广义积分例12设随机变量X与Y相互(xiānghù)独立，概率密度分别是方法2因为随机变量X与Y是相互独立的，所以(suǒyǐ)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为五、数学期望的性质数学期望的几个重要性质:1设C是常数，则有E(C)=C.(11)2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)(12)3设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)(13)这一性质可以推广(tuīguǎng)到任意有限个随机变量的情况.4设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(X,Y)=E(X)E(Y)(14)证1,2,3证明略.只证明4.设X,Y为相互独立的连续型随机变量(suíjībiànliànɡ)，其边缘概率密度分别为fX