考研数学解题妙招集锦(五)矩阵可逆性证明全攻略（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）考研数学解题妙招集锦（五）：矩阵可逆性证明全攻略来源：文都教育逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，在近年考试的真题中，无论是以填空题、选择题还是解答题的形式，对逆矩阵的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法的考查以较高的频率出现在考生面前。许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手。下面从一道较为典型的可逆性证明题出发，细数证明矩阵可逆常用的思路和方法：矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。在逆矩阵的计算或证明中，若涉及到矩阵相交换的情形，应当尽量从逆矩阵的定义去着手分析。从逆矩阵的定义出发，很容易得到证明本题的方法：除了上述从定义出发的思路之外，在求逆的题目中经常使用的分块矩阵初等变换方法同样也可以在证明题中很好地发挥作用，本题运用分块初等变换证明的详细步骤如下：在线性代数的证明题中，矩阵与线性方程组常常是不分家的，而矩阵的可逆性与线性方程组解的存在性之间的千丝万缕的联系也可为矩阵可逆的证明独辟蹊径，这道题目如果与线性方程组的相关性质结合，则很容易就可以证得结论成立：方法三的运用主要是出于这样的一个思考：n阶方阵A可逆的充要条件是A的行列式不为0，从而线性方程组Ax=0只有零解。这就将线性方程组解的讨论与矩阵可逆的证明巧妙融合于一体。在线性代数总体的学习当中，掌握矩阵与线性方程组相结合的灵活运用是非常必要的。这道题目条件非常简单，却可以从三个不同的角度证得结论，可见矩阵可逆性的证明思路非常宽泛，各种方法的运用也是很灵活的。事实上，n阶方阵A可逆的充分必要条件共有七条，在《考研数学线性代数过关与提高》一书矩阵一章的“重要公式与结论”中有着全面的列举。有此七大破题高招在手，还愁可逆性证明无路可走吗？仔细学习“逆矩阵的计算与证明”这一部分的典型例题，从此之后逆矩阵再也不是解题的拦路虎，而是破解线代众多题目的最佳帮手！1求下列可逆矩阵的逆矩阵（1）。提示：由得，（2）。提示：初等变换法，作矩阵并对其作初等行变换化成，则（3）。提示：方法同上，可得2填空答案：分别是，3求。提示：上述矩阵相当于对中间的矩阵交换第一行和第二行19次，最终是第一行和第二行互换位置，再对它进行列变换，将第二列加到第一列n次，最终可得到如下矩阵：4设为阶数大于1的可逆矩阵，交换的第2行与第3行得到。问对做什么样的初等变换可得到。提示：由题设知对Ａ左乘一个相应的初等矩阵Ｃ可得到Ｂ，故，则只需求出是怎样的初等矩阵即可，而，则则将的第二列与第三列互换位置，再将每个元素乘以可得到。5已知均为三阶矩阵将的第3行的（-2）倍加第2行得，将的第1列与第2列互换得，并且，求。提示：，，则故6解矩阵方程（1）；提示：，代入已知方程，左乘，可得，即故（2）提示：由已知方程得，，左乘，可得，则，7设为3阶可逆方阵，，求。提示：第4章可逆矩阵习题习题4.1考虑空间解析几何中平面，，的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。习题4.2对下列矩阵计算：（1）；（2）。计算矩阵乘积或方幂：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。计算矩阵多项式：（1）；（2）。证明：矩阵的乘法和加法还适合分配律，即本节（9）、（10）两式成立。矩阵乘法的消去律不成立，即当时，即使也不一定有。试针对矩阵举出例子。在下列各题中，求与矩阵可交换的所有矩阵：（1）；（2）；（3）；（4），其中。对任意正整数，给出的条件，并加以证明。证明：如果一个级矩阵与所有级矩阵作乘法都是可以交换的。那么这个矩阵一定是数量矩阵。证明：任何级矩阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。设是对称矩阵，证明：也对称的充分必要条件是可交换。即设是实对称矩阵，证明：。证明：两个上（下）三角的乘积仍然是上（下）三角矩阵。这个性质对于对称（反对称）矩阵成立吗？试对矩阵情形讨论。