而不知道函数在其他点x上的取值，这时只能用一个经验函数y=g(x)对真实函数y=f(x)作近似。已知数据表插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为依据，建立一个简单的、连续的解析模型g(x)，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。插值法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x)在互异点x0,x1,...,xn处的值y0,y1,…,yn,构造一个简单函数F(x)作为函数y=f(x)的近似表达式y=f(x)F(x)使F(x0)=y0,F(x1)=y1,,F(xn)=yn,(a)这类问题称为插值问题。f(x)称为被插值函数，F(x)称为插值函数，x0,x1,...,xn称为插值节点。(a)式称为插值条件。插值函数的类型当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代数插值。由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组a0+a1x0+a2x02+…+anx0n=y0a0+a1x1+a2x12+…+anx1n=y1…………………….a0+a1xn+a2xn2+…+anxnn=yn令L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2要求l0(x)，l1(x)，l2(x)是二次多项式，且满足l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0,l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.类似的可以得到l1(x),l2(x)令Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn求n次多项式lj(x),(j=0,1,…,n)使其满足条件编程框图如图2.3.3，可用二重循环来完成值的计算，先通过内循环，即先固定，令从0到累乘求得然后再通过外循环，即令从0到，累加得出插值结果doubleLagrange(intn,doubleu,doublex[],doubley[]){inti,j;doublel,Ln=0;for(i=0;i<=n;i++){l=1.0;for(j=0;j<=n;j++)if(i!=j)l=l*(u-x[j])/(x[i]-x[j]);Ln=Ln+l*y[i];}return(Ln);}#include"stdio.h"#defineN20voidmain(void){inti,n;doublex[N],y[N],u,fu;doubleLagrange(intn,doubleu,doublex[],doubley[]);printf("请输入插值多项式的次数n及插入点u:\n");scanf("%d,%lf",&n,&u);printf("请输入n+1个插值节点x,y:\n");for(i=0;i<=n;i++)scanf("%lf,%lf",&x[i],&y[i]);fu=Lagrange(n,u,x,y);printf("插入点u的近似值为%lf\n",fu);}练习:已知，构造二次拉格朗日插值多项式Ｌ2(x)。1、计算2、估计误差并与实际误差相比较定理2:设Ln(x)是过点x0，x1，x2，…xn的f(x)的n次插值多项式，f(x)∈Cn+1[a,b]，其中[a，b]是包含点x0，x1，x2，…,xn的区间，则对任意给定的x[a，b]，总存在一点（a，b）（依赖于x）使证明:显然Rn(xi)=f(xi)-Ln(xi)=0,i=0,1,…,n,现在任意固定一点x∈[a,b],x≠xi(i=0,1,…,n),设Rn(x)=K(x)n+1(x),因为n+1(t)是n+1次多项式，n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为Ln(t)是次数为n的多项式,因此Ln(n+1)(t)=0。这样，由(*)式便有上式称为带余项的Lagrange插值公式,只要f(x)具有n+1阶导数,就有上式成立,其余项为例:已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。其截断误差得其中，因f(x)=sinx，f”(x)=-sinx，可取，于是R1(0.3367)=sin0.3367–L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.9210–5，其截断误差为其中于是用抛物插值计算sin0.3367时，可得其截断误差得其中于是2、由误差公式有第三节Newton插值式中c0,c1,…,cn为插值多项式系数。为便于