5.中等数学数数数学学学奥奥奥林林林匹匹匹克克克高高高中中中训训训练练练题题题（!）第一试（!!%,,"(!%,,6）$)已知等差数列｛｝、｛｝的前项和#"#/’//一、选择题（每小题"分，共#"分）分别为、，且0/#/(%则#6%%0/1/$)$)#&"1/%/(.’2!"函数（!"）$!是奇函数的’"(#’&#$"设"(+(.$.)则函数2$%"%(#+%充要条件是（）%)(.的最小值是)（*）#+,（-）#"&.或##.%"已知过点-（#，,）的直线（不与*"轴（/）#0,（1）&."#+,或,+#".垂直）与曲线&：+%$5#"交于$、%两点，设#"已知$%&的三边长#、’、(满足点3（&#，,），!"与!#的夹角为!)则!的#%&#&%’&%($,，且#(%’&%((#$,)则取值范围是)$%&的最大内角的度数是（）)&"正方形$%&4和正方形$%5-所在平（*）.2,3（-）.%,3（/）4,3（1）",3面成.%,3的角，6、7分别是对角线$&、%-$"过定点)（%，.）作直线*分别交"轴、上的点，且$6$-7)若$%$.，则67的最+轴正向于点$、%)若使$,%（,为坐标大值是)已知·，原点）的面积最小，则*的方程是（）)’"789"(9:;"78<!$<=;253·（*）"(+&#$,（-）"(#+&2$,789"&9:;"78<!$<=;.!3)%（/）%"(+&2$,（1）"(%+&5$,则<=;!的值是)%"对一切实数"，所有的二次函数（!"）三、（%,分）已知函数（!"）对任意的实数、都有$#"%(’"(（(#"’）的值均为非负实数)则"+（）（）（）（），’&#!"(+$!"(!+(%"(+(.的最大值是（）)#(’((且（!.）$.)..若且#时，不等式（*）.（-）（/）（1）#"$(("%%#（）（）（）%%!"##(6"&#(.,双曲线"+（）的左焦&"%&%$.#0’0,恒成立，试求实数#的取值范围)#’"%+%点为-，顶点为$、$，)是双曲线上任一四、（%,分）已知椭圆($.（80/..%8%/%点则分别以线段、为直径的两圆))-.$.$%0,）经过定点)（#，’）（#、’为实数，且#’%一定（）),，’#’%’’’）)求8(/的最小值)（*）相交（-）相切（/）相离五、（%,分）已知（1）以上情况均有可能789"(789+(789.9:;"(9:;+(9:;.’"在复平面上，曲线.5(.$.与圆’.’$$#)789（"(+(.）9:;（"(+(.）$.的交点个数为（）)求789（+(.）(789（.("）(789（"(+）（*）,（-）.（/）%（1）#的值)二、填空题（每小题4分，共25分）第二试!"若（!"）$""&%!%,,""2&"5("#&%%!%,,6"(%"&!%,,"，则一、（2,分）已知$%&内切&,于点($$<年第=期#&、、，延长交于，延长交,3!"#$%"#&’%"#因此，2的方程为%"&，即,%(3’-"$!于证明：-((!)’%$")四边形*&%(!%#/!二、（分）设实系数多项式#$(由题设知，且(，则/（）--’&⋯.)$/’-.1($1!!+,",%.&,%%.--.的根为实数，，⋯，，其中，证明：设/’."（44!$），即/".%4!于是，/&/(/--!(!/’.4对于,)*+,｛/，/，⋯，/｝，有&"(&(-.%/%1（.%4）((.%（.%4）%(--.（+,%&）!!&&&-.4-.4&%%⋯%"("!（）(（）(.,’/&,’/(,’/-..%4(.$.4三、（分）（）是定义在自然数集上的/(#$+,当且仅当.."4，且1"，即/"1"-.时，等函数，满足-.号成立!-（+&）"，&所以，&"!.*+,.00且(（+0）"（+0’&）’0·#%(（0!(，0"!）!&#1!试求函数（+,）的解析式!如图&，设点5在双曲线的右支上，参考答案取的中点，则5#&&第一试0%&0为圆心距，05#0一、/!&、.分别为两圆(充分性若，则（）的定义域为［，）图!.)$+,’.$的半径在&!5#&#(((（，］此时，（）$.’,，显然为奇函数#$.!+,"!中，&,0%&0"05#(0!(.(’,(又，即，必要性!若（+,）"$是奇函数，则.%05#&0’05#(0"(.05#&0"05#(0%(.0,%.0’.05#0（否则，（）的定义域为空集）则0%&0"&’.!$+,!(由（）（），得+’,"’+,可