2023-2024学年浙江省杭州北斗联盟高二年级第一学期期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.若复数满足其中为虚数单位，则的虚部是()A.B.C.2D.3.“”是“直线与直线互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：其中W是功，F是力，是位移一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于()A.25B.5C.D.5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为()A.B.C.D.6.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则()A.B.0C.50D.2，7.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则()A.B.C.D.8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的表面积和为()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是()A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差，C.若样本甲的中位数是m，则样本乙的中位数是D.若样本甲的平均数是n，则样本乙的平均数是10.已知、是圆上两点，则下列结论正确的是()A.若，则B.若点O到直线AB的距离为，则C.若，则的最大值为D.若，则的最大值为411.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则()A.事件A与事件B是互斥事件B.事件A与事件B是对立事件C.D.12.如图，在正四棱柱中，，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为，，且，记动点P的轨迹与棱的交点为Q，则下列说法正确的是()A.Q为中点B.线段长度的最小值为5C.存在一点P，使得平面D.若P在正四棱柱表面，则点P的轨迹长度为，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.过点且方向向量为的直线的方程为__________.14.已知，，且，则的最小值为__________15.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织2位同学参加，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给2位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为__________.16.已知单位空间向量，，满足，若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题10分如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点．求证：平面PBC；求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.18.本小题12分亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为