2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学三》真题及答案详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1．已知函数f（x，y）＝ln（y＋|xsiny|），则（）。ffA．不存在，存在xy0,10,1ffB．存在，不存在xy0,10,1ffC．，均存在xy0,10,1ffD．，均不存在xy0,10,1〖参考答案〗：A〖参考解析〗f（0，1）＝ln（1＋0）＝0，由偏导数的定义，可得：ffx,1f0,1ln1xsin1xlimlimsin1limxx0x0x0xx0x0,1xxf因为lim1lim1，所以不存在。x0xx0xx0,1ff0,yf0,1lny1f因为limlimlim1，所以存在。yy1y1y1y1y1yy0,10,11,x02．函数fx1x2的原函数为（）。x1cosx,x0ln1x2x,x0A．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x1,x0B．Fxx1cosxsinx,x0ln1x2x,x0C．Fxx1sinxcosx,x0ln1x2x1,x0D．Fxx1sinxcosx,x0〖参考答案〗：D〖参考解析〗当x≤0时，可得：dxfxdxlnx1x2C1x21当x＞0时，可得：fxdxx1cosxdxx1dsinxx1sinxsinxdxx1sinxcosxC2在x＝0处，有：limlnx1x2CClimx1sinxcosxC1C11，22x0x0由于原函数在（－∞，＋∞）内连续，所以C＝1＋C，令C＝C，则C＝1＋C，故1221ln1x2x1C,x0fxdxx1sinxcosxC,x0ln1x2x1,x0令C＝0，则f（x）的一个原函数为Fx。x1sinxcosx,x03．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＞0C．a＝0，b＞0D．a＝0，b＜0〖参考答案〗：C〖参考解析〗由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0。当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ，λ，则λ，λ至少有一个不等于零。1212yCexCex若C、C都不为零，则微分方程的解为12。因此，此时不能有解在（－∞，1212＋∞）上有界。当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2。1，2aaxx若C≠0，则微分方程的解为yCe2Ce2。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。212a4ba2当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为i。1,222a22x4ba4ba则通解为ye2CcosxCsinx。1222要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，结合Δ＝a2－4b＜0，可得b＞0。4．已知a＜b（n＝1，2，…），若级数a与b均收敛，则“级数a绝对收敛”是“bnnnnnnn1n1n1n1绝对收敛”的（）。A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件〖参考答案〗：Aabba〖参考解析〗由级数n与n均收敛，可得nn为收敛的正项级数，进而绝对收敛。n1n1n1若a绝对收敛，则由|b|＝|b－a＋a|≤|b－a|＋|a|与比较判别法，可得b绝对收敛。nnnnnnnnnn1n1若b绝对收敛，则由|a|＝|a－b＋b|≤|b－a|＋|b|与比较判别法，可得a绝对收敛。nnnnnnnnnn1n1AE*5．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（）。OBAB*B*A*A．OBA*BA*A*B*B．O