2023考研数学二真题及解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.11．曲线=yxlne+的斜渐近线方程为（）.x−111（A）y=x+e（B）y=x+（C）y=x（D）y=x−ee【答案】（B）y1【解析】方法=1.klim=limlne=+1x→∞xx→∞x−1()11=blimy−=xlimxlne+−=1limxlne+ln1+()−1x→∞x→∞x−1x→∞ex−111lim=xx→∞e(x−1)e1故曲线的斜渐近线方程为y=x+．故选（B）e11方法2.y=xlne1+()=x1+ln1+()ex−1ex−111α1=x+xln1+()=x++，其中limα=0，故y=x+为曲线的斜渐近线.ex−1ex→∞e1111α【评注】由limxln1+()=，知xln1+()=+x→∞ex−1eex−1e1111α【评注】1.由limxln1+()=，知xln1+()=+x→∞ex−1eex−1e2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】1,x≤0,2.函数f(x)=1+x2的一个原函数是()(x+1)cosx,x>0.ln(1+x2−x),x≤0,ln(1+x2−x)+1,x≤0,(A)F(x)=(B)F(x)=(x+1)cosx−sinx,x>0.(x+1)cosx−sinx,x>0.ln(1+x2−x),x≤0,ln(1+x2−x)+1,x0,≤(C)F(x)=(D)F(x)=(x+1)sinx+cosx,x>0.(x+1)sinx+cosx,x>0.【答案】(D).【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.1()【详解】由于当x<0时，F(x=)∫d=xln1+x2+x+C1+x21当x>0时，F(x)=∫(x+1)cosxdx=(x+1)sinx+cosx+C2由于F(x)在x=0处可导性，故F(x)在x=0处必连续因此，有limF(x)=limF(x)，即C=1+C.12x→0−x→0+ln(1+x2−x)+1,x0,≤取C=0得F(x)=应选(D).2(x+1)sinx+cosx,x>0.【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过.原题为2(x−1),x<1,已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是()lnx,x≥1.(x−1)2,x<1,(x−1)2,x<1,(A)F(x)=(B)F(x)=x(lnx−1),x≥1.x(lnx+1)−1,x≥1.(x−1)2,x<1,(x−1)2,x<1,(C)F(x)=(D)F(x)=x(lnx+1)+1,x≥1.x(lnx−1)+1,x≥1.13.设数列{x},{y}满足x=y=,x=sinx,y=y2(n=1,2,)，则当n→∞时（）nn112n+1nn+1n（A）x是y的高阶无穷小（B）y是x的高阶无穷小nnnn（C）x是y的等阶无穷小（D）x是y的同阶但不等价无穷小nnnn【答案】（B）112n1【解析】由=y=,yy2,知y=，则有y<y12n+1nn+12n+12n211利用=xsinx>x，则<n+1nπnx2n+1xπn1y2nny2nπyπyπyπ故n+1≤=n≤n−1≤≤1=x24x4x4x4n+1xnn−11πny1ny于是0≤limn+1≤lim=0，由夹逼准则limn=0，选（B）n→∞xn→∞4n→∞xn+1n【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程y′′+ay′+by=0的解在(−∞,+∞)上有界，则（）（A）a<0，b>0（B）a>0，b>0（C=）a0，b>0（D=）a0，b<0【答案】（C）−a±a2−4b【解析】特征方程为r2+ar+b=0，解得r=．记∆=a2−4b1,22r⋅xr⋅x当