2005年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题（10月6日上午8∶30—9∶30）本卷满分100分（7/×4+8/×4+10/×4=100/）1、在平面上画一个长方形能把平面分成两个部分，如果画三个长方形，那么最多能把平面分成部分。解：1个长方形4个角（2部分）；2个长方形最多是八角星形（10部分）；3个长方形最多是12角星形：新长方形把原来八角星的角分出成为新的部分（+8），新长方形自己新加入的角也成为新部分（+4）；原来两角间凹陷部分有一半也成为新部分（4）；∴共10+8+4+4=26个部分2、n×7的积的末四位数是2005，那么n的最小值是。解1数字谜+逆推：1715解2数论整除：设a2005整除7，则a2-005要能被7整除。a2最小取12所以n=1200÷7=17153、一只箱子装有标号为1、2、3、…、2005的2005张卡片，现从箱子中随意取出x张卡片，但是为了确保这x张卡片中至少有两张卡片标号的差是5，那么x至少是。解：最倒霉拿连着5个数空5个数再拿5个数再空…；2000÷2+5+1=10064、一名收藏家拥有m块宝石，如果他拿走最重的3块宝石，那么宝石的总重量会减少35％，如果他从余下的宝石中再拿走最轻的3块，那么余下宝石的重量会再减少5/13，则m＝。解：三块最重的重0.35,平均每块重0.107；三块最轻的重(1-0.35)×(5/13)=0.25,平均每块重0.083；则剩下的共重1-0.35-0.25=0.40若剩3块，则每块重0.40/3=0.133>0.107,所以剩下的多于3块；若剩5块，则每块重0.40/5=0.080<0.083,所以剩下的少于5块；所以剩下的只能是4块,加最大3块，最小3块，共10块5、在正方形ABCD中，切去四个三角形得到一个五边形EFGHI（如右图，其中所标的数表示各线段的长度），线段IJ将五边形EFGHI分成两个面积相等的部分，那么FJ的长度是。解：五边形面积=8×8-（30+6+6+2）/2=42；一半为21从I点向AD作垂线交AD于P。可以计算出三角形IJP的面积为21-（3×8-3-3）=3。所以JP=3×2/8=0.75FJ=5-1-0.75=3.256、电子表现显示的数字是10:20:05，如果从现在起到12点整为止，那么电子表显示的6个数字都不相同的情况共有种。解：6×5×4×3=360数位123456只能1只能02、3、4、5其余选择1种1种4种3种6种5种7、正整数n使得(191919+n)(191919+n)除以19的余数是6，那么n除以19的余数是。解：根据题意(191919+n)^2除以19余6则191919^2+n^2+383838n除以19余6则n^2除以19余6，设n=19m+x，则n^2=（19m+x）^2=19m×19m+38mx+x^2=>x^2=6+19Y枚举x0-18，得5、148、甲乙两地相距24千米，现仅有一辆自行车，车速是每小时15千米，但只能一个人骑。小明每小时步行6千米，小华每小时步行5千米，两人轮换骑车和步行，骑车的过一段距离下车，停车后，然后自己步行，而步行的到此地，则骑车前进。如果两人同时从甲地出发，并且同时到达乙地，那么需要时间分钟。解：设小明骑车x千米后，步行。x/15+(24-x)/6=x/5+(24-x)/15=需要的时间。解方程可得：x＝72/7所需时间为：x/15＋（24－x）/6，代入可得所需时间为104/35小时。9、小聪和小明计算两个三位数的差，小聪的答案是234，小明的答案是432。检查中发现，小聪的答案正确；小明由于漏看了减数的个位数，而把减数看成两位数，所以错了。那么被减数是。解：设A-<abc>=A-10<ab>-c=234(1)A-<ab>=432(2)(2)-(1)得：9<ab>+c=198<ab>+c/9=22显然，只有:c=0，或c=9当c=0时：<ab>=22(不满足要求，舍去)当c=9时：<ab>=21所以<abc>=219，A=234+219=453.10、如果某正整数不论从左边或右边读起都相同（例如36563，2002等）那么称该数为“回文数”，能被101整除的最大五位回文数是。解：abcba=xyz*100+xyz所以x=z=a，y=b，c=x+z=2ac最大取8，a=4，这时b最大取9。所求五位数为：4989411、如图，正方形ABCD，M是CD的中点，那么面积P、Q、R、S的比P:Q:R:S=。解：连AM，梯形蝴蝶原理：4：5：1：212、四个正整数a、b、c、d都小于1000，并且组成一个四数组(a、b、c、d)，如果a+4、b-4、c×4、d÷4