3．6二维离散付立叶变换及其性质3．6．1概述直接应用卷积和相关运算在时域中处理，计算量大，费时，很难达到实时处理的要求。一般可采用DFT方法将输入的数字信号首先进行DFT变换，在频域中进行各种有效的处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度,然后进行DFT反变换，恢复为时域信号。DFT还有一个明显的优点是有快速算法，即FFT(FastFourierTransform)算法。3．6．2二维离散付立叶变换(DFT)假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。一维离散付立叶变换对：2）二维离散付立叶变换通常M和N取同样的值:振幅谱(频谱)、相位谱：3．6．3二维离散付立叶变换的性质2）可分离性:观察式(3.1.1)及(3.1.2)，式中的指数项是可分离的，由此得：以二维付立叶正变换为例：a.空间位移：b.频率位移：无平移这里要注意自变量x,u是离散的整数值。imfinfo('cameraman.共轭对称性：|F(u)|=|F(-u)|，利用此性质可将谱|F(u)|的原点平移到(0,N/2)，这样在(0,N-1)中可以完整地显示一个周期。这里要注意自变量x,u是离散的整数值。4)周期性和共轭对称性2变换的矩阵表达式I=imread('cameraman.周期性表明在频域中完全确定F(u,v)，只需变换一个周期；图像每一个像素对应调色板中的一个颜色。傅立叶变换的常用性质，并能证明（2）检查在内存中的图像项是可分离的，由此得：所以我们可以对其进行2次的FFT变换。周期性和共轭对称性以一维情况为例：周期性：F(u)=F(u+N)共轭对称性：|F(u)|=|F(-u)|，利用此性质可将谱|F(u)|的原点平移到(0,N/2)，这样在(0,N-1)中可以完整地显示一个周期。5）旋转不变性引入极坐标：6)分配性和比例性7)平均值二维离散函数的平均值定义:8)微分性质二维变量函数f(x,y)的拉普拉斯算子的定义:9）卷积定理二个连续函数的卷积定义如下：同样存在离散形式的卷积定理。10)相关定理对于二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的相关定义为：3．6．4应用付立叶变换注意的问题因为2维DFT可以看成是两次的1维DFT变换，即：所以我们可以对其进行2次的FFT变换。傅立叶变换的常用性质，并能证明二维离散付立叶变换的代数表达式可用通用的关系式表示：3．7离散图像变换的一般表达式3．6．2二维离散付立叶变换(DFT)所以我们可以对其进行2次的FFT变换。图像类型：数组数值与像素颜色之间定义的关系。2）可分离性:观察式(3.离散函数的傅立叶变换定义对于二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的相关定义为：I=imread('cameraman.通常M和N取同样的值:DFT还有一个明显的优点是有快速算法，即FFT(FastFourierTransform)算法。快速算法比直接计算的时间快:付立叶变换的正反变换的周期性：若变换矩阵是酉矩阵，即：二维离散付立叶变换的代数表达式可表示：3．7离散图像变换的一般表达式3．7．1图像变换的代数表达式如果下式成立,它们称为可分离的：二维付立叶变换此时：3.7.2变换的矩阵表达式将式(3.7.1)两端分别左乘和右乘，则有：若变换矩阵是酉矩阵，即：那么则有：这里I表示同阶单位阵，*号表示求共轭，将上式与式(3.7.2)比较可知由于二维DFT中，矩阵P、Q都是对称阵，因此式(3.7.2)可写成：要点总结3.8MATLAB图像处理初步clear;closeall;I=imread('cameraman.tif');imshow(I);whosI2=imresize(I,0.5);figure,imshow(I2);imwrite(I2,'cameraman.bmp');imfinfo('cameraman.bmp')3.8.2高级图像处理初步例：（1）读取和显示图像（2）估计图像背景（3）从原始图像中减去背景图像（4）使用阈值操作将图像转换为二值图像（5）检查图像中的目标对象数量（6）计算图像中对象的统计属性这里要注意自变量x,u是离散的整数值。对于二维连续函数f(x,y)和g(x,y)的相关定义为：同样存在离散形式的卷积定理。共轭对称性：|F(u)|=|F(-u)|，利用此性质可将谱|F(u)|的原点平移到(0,N/2)，这样在(0,N-1)中可以完整地显示一个周期。由于二维DFT中，矩阵P、Q都是对称阵，因此式(3.（3）改变图像的大小（3）改变图像的大小