2023年全国硕士研究生招生考试数学试题及参考答案（数学三）（科目代码：303）一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。1、已知函数,则()A、不存在，存在B、存在，不存在C、，均存在D、，均不存在2、函数的原函数为()A、F(x)=B、F(x)=C、F(x)=D、F(x)=3、若微分方程y+ay+by=0的解在（-，+）上有界，则（）A、a<0，b>0B、a>0,b>01C、a=0,b>0D、a=0，b<04、已知(n=1,2,……)，若级数与均收敛，则“绝对收敛”是“绝对收敛”的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件5、设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，为矩阵M的伴随矩阵，则=()A、B、C、D、6、二次型的规范形为()A、B、C、2D、7、已知向量=,=,=,=,若既可由，线性表示，也可由线性表示，则=（）A、k,kRB、k,kRC、k,kRD、k,kR8、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X-EX|）=()A、B、C、D、19、设,为来自总体N（）的简单随机样本，,为来自总体N（）的简单随机样本，且两样本相互独立，记=,=,=,=,则（）3B、C、D、10、设,为来自总体N（）的简单随机样本，其中是未知参数，若=为的无偏估计，则a=()A、B、C、D、二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分。11、=12、已知函数满足,,则=13、=14、设某公司在t时刻的资产为，从0时刻到t时刻的平均资产等于.假设连续且则=15、已知线性方程组有解，其中a,b为常数，若=4,则=416、设随机变量X与Y相互独立，且XB(1,p),YB(2,p),p(0,1),则X+Y与X-Y的相关系数为三、解答题：1722小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、已知可导函数y=y(x)满足a且y(0)=0,y(0)=0(Ⅰ)求a,b的值.(Ⅱ)判断x=0是否为y(x)的极值点.18、已知平面区域D={(x,y)|0y,x1}(Ⅰ)求D的面积.(Ⅱ)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.19、已知平面区域D={(x,y)|+≤1},计算二重积分-1|dxdy.20、设函数在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：(Ⅰ)若=0，则存在,使得=[;(Ⅱ)若在内取得极值，则存在η使得||||.21、设矩阵A满足对任意,，均有A=(Ⅰ)求A.(Ⅱ)求可逆转矩阵P与对角矩阵使得22、设随机变量X的概率密度为,,令Y=.(Ⅰ)求X的分布函数(Ⅱ)求Y的概率密度(Ⅲ)Y的期望是否存在？5参考答案：一、61、A2、D3、C4、A5、B6、B7、D8、C9、D10、A二、11、12、13、14、215、816、-三、17、(Ⅰ)在题设方程两边同时对x求导得，a①将x=0,y=0代入题设方程得，a+b=0;将x=0,y=0,代入①式得，a-1=07综上：a=1,b=-1.(Ⅱ)在等式①两边再对x求导得，将x=0,y=0,代入②式得，=-a-1=-2.由于y(0)=0，=-2，故x=0是y(x)的极大值点.18、(Ⅰ)面积S=====.(Ⅱ)旋转体体积为：====.19、本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进行计算：==分别采用极坐标进行计算：========8=所以：==-20、(Ⅰ)证明：x+=x+,介于0与x之间，则a+,0<<a.①a)+,-a<<0.②①+②得：[].③又在[]上连续，则必有最大值M与最小值m,即，m，m，从而m.由介值定理得：存在,有，代入③得：，即.(Ⅱ)设在x=在x=可导，则.又=+(x-)+=+,介于0与x之间，则=+-a<=+0<.9从而||=|-|+.又||连续，设M=，则||=M()又||M(),则M||,即存在或,有||||.21、(Ⅰ)因为A==对任意的,