第一章绪论§1绪论：数值分析的研究内容§2误差的来源和分类§3误差的表示§4误差的传播§5算法设计的若干原则一、误差的分类（绝对误差，相对误差）例1-1设x*=2.18是由精确值x经过四舍五入得到的近似值。问x的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？解：因为x=x*±0.005，所以绝对误差限为ε=0.005相对误差限为二、有效数字定义设数x的近似值可以表示为其中m是整数,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，而α1≠0.如果其绝对误差限为则称近似数x*具有n位有效数字。结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。例1-2下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字：x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450×10-2解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。已知有5位有效数字。同理可以写出可以得出x2,x3,x4各具有4、3、4位有效数字。例1-3已知e=2.718281828……,试判断下面两个近似数各有几位有效数字？解：由于而而所以e1有7位有效数字。同理：e2只有6位有效数字。三、算法设计的若干原则1：两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)练习：求方程x2-56x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字第二章插值与拟合1、Lagrange插值多项式,Newton插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。2、Hermite插值多项式的构造与插值余项估计，带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法，重节点差商表的构造；3、分段插值及三次样条插值的构造4、最小二乘拟合掌握Lagrange插值多项式的构造方法及具体结构掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法掌握Newton插值多项式的形式及误差掌握差商表的构造过程关于离散数据：：Newton插值多项式：例1-3已知f(x)的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五组数据列差商表10222312104442301025116742240.5628216646810.1如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商由Newton公式的递推式得到：得到：1.高次插值的Runge现象，应如何避免？2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）3.Hermite插值的构造,误差估计4.三次样条函数的定义、构造过程5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性拟合的处理方法）二、典型例题分析例1.令x0＝0，x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式L1(x),并估计插值误差．（P55,t14题）第三章数值积分插值型积分公式Newton-Cotes型求积公式复化求积公式Romberg算法Gauss型求积公式数值微分(§1,2)需要掌握：各种积分公式的原理，构造方法,利用公式计算积分，（复化）梯形公式，(复化)Simpson公式的余项表达式，代数精度Romberg算法的实现原理，计算，外推加速技术；Gauss型求积公式的构造方法；数值微分公式的构造方法一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项根据代数精度的概念对Guass型求积公式，可借助Guass点与求积系数的关系确定参数推导余项时，可设对于数值微分公式，可构造适当的插值多项式或应用Taylor展开式推导二、计算定积分和函数的导数的近似值对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值积分公式或数值微分公式计算，t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等明确积分公式与微分公式三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足所给精度要求根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，即可确定所需的步长或节点数插值求各种类型的插值多项式，被插值函数f(x)在某些点处的近似值，并估计误差已知类型的插值条件，如Largrange，Newton，Taylor等所给条件与已知类型部分一致的插值条件的构造方法(类似于Hermite插值构造)推导插值多项式的余项公式讨论满