1.THUE-MORSE序列的分析图1前4阶Thue-Morse序列以上就是TM序列的前四项，把上面的字符串序列记为S(N),N为序列所对应的序号,也就是TM序列的阶数。现在把每一阶的TM序列一分为二来看，上面用“|”分隔开来，左半部分LR记为S1/2(N),右半部分记为S1/2(N),其中L、R分别代表Left和Right.显然：LRS(N)=S1/2(N)//S1/2(N),“//”为fortran字符串连接运算符N从1到4乃至更大，序列的扩展规则是：A—>AB，B—>BA，”—>”表示替换，当N增加1，就对A和B发生一次上述的替换，因此是1个变2个的过程，Length(S(N))=.定义Q运算为上述扩展规则：A—>AB，B—>BA，有：Q(A)=AB,Q(B)=BA.(1)定义P运算为对字符串中的每一个A与B发生A与B之间的互换：A—>B，B—>A，有：P(A)=B,P(B)=A.(2)显然，P运算有自还原性，即：P(P(*))=*（可推广为偶数次P运算之后可以还原成原序列）(3)另外，上述定义的两种运算P和Q对字符串的合并运算”//”是线性运算符，有：P(S1//S2)=P(S1)//P(S2)Q(S1//S2)=Q(S1)//Q(S2)(4)由上面的定义可以推出下面的结论：当A与B互换之后，他们对应的“Q运算生成元“也要发生每一个A与B的调换.数学语言为：Q(P(A))=P(Q(A)),同理Q(P(B))=P(Q(B)).(5)利用上述性质可以证明一个递推关系：既然定义Q为序列的“扩展规则“运算符，则有S(N)=Q(S(N-1)).显然LLRRS1/2(N)=Q(S1/2(N-1)),同理S1/2(N)=Q(S1/2(N-1)).L因为1阶TM序列为“AB”（如图1显示），并且有S1/2(2)=S(1)=”AB”,LLL所以Q(S1/2(2))=Q(S(1))=Q(“AB”),又Q(S1/2(2))=S1/2(3)，Q(S(1))=S(2)，所以：LLS1/2(3)=S(2)，和上述初始条件S1/2(2)=S(1)=”AB”,合并来看，可由数学归纳法得出：LS1/2(N+1)=S(N).(6)R再看右半部分S1/2(N+1)：首先可由数学归纳法证明：对任意N阶的TM序列，有LRLRP(S1/2(N))=S1/2(N),同理S1/2(N)=P(S1/2(N)).(7)(7)式表明任意阶的TM序列左右两半部分是互补的，即左半部分与右半部分按从左到右的顺序是依次符合AB对应互补的。由此，我们可以递推如下:RRLS1/2(N+1)=Q(S1/2(N))=Q(P(S1/2(N))),再由性质公式(5)式得：RRLLS1/2(N+1)=Q(S1/2(N))=Q(P(S1/2(N)))=P(Q(S1/2(N)))L=P(S1/2(N+1))=P(S(N))(由公式(6)得)LR=P(S1/2(N)//S1/2(N))LR=P(S1/2(N))//P(S1/2(N))RL=S1/2(N)//S1/2(N).(最后一步是由(7)式得出的).由此得:RRLS1/2(N+1)=S1/2(N)//S1/2(N).(8)综合(6)式与(8)式，得出：LRRLS(N+1)=S1/2(N+1)//S1/2(N+1)=S(N)//S1/2(N)//S1/2(N).(9)至此用较为严格的数学语言证明了(9)式这个递推关系，这个递推式表明后一个字符串，是前一个字符串先连接上自己的右半部分，再紧接着连接上自己的左半部分而得.另外，通过前一阶TM序列生成后一阶TM序列的“Q”过程（A—>AB，B—>BA）表明，前一阶TM序列的所有的元素A将生成相同数量的A和B，所以无论前一阶是否拥有相同数量的A和B，后一阶都会拥有相同数量的A和B，并且由此再往后类推，后续的TM序列都将拥有相同数量的A和B.2.石墨烯超晶格电子输运的转移矩阵方法下面，回到我们要探讨的石墨烯超晶格电子输运问题：考虑石墨烯晶格的布里渊区的K点附近，电子类似于无质量的dirac费米子，其行为由下面的哈密顿量描述：ˆˆHVxIFˆp+ˆ()pˆ(10)=ˆˆxVxI()ˆFxyˆpy解这个哈密顿量的本征函数的过程可参看PHYSICALREVIEWB.81.205444，但是如果要更为广泛地讨论205444这篇文章中的(6)式和(7)式的结果，还需细分情况如下，205444文