第PAGE9页（）2010年浦南中学高一数学竞赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数．2．已知直线是圆的一条对称轴，则实数.3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．4．已知，则．5．已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于．7．设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是．8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，则．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是．10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．13．如图，P是内一点．（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心．ABCP14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1．复数．答案：－82．已知直线是圆的一条对称轴，则实数.答案：3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．答案：4．已知，则．答案：5．已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．答案：6．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和等于．答案：7．设函数．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是．答案：(0,2)8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中，则．答案：69．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是．答案：4eq\r(3)10．已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是．答案：3,14,30二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围．解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，得因为，所以12．设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减故．13．如图，P是内一点．（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心．ABCP证明：（1）14．已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数．证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数．证明：设，其中p，q为互质的正整数，则．设k为任意的正整数，构造，则．本试卷分为第Ⅰ卷（试题卷）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分。共120分，考试时间90分钟.本次考试只交答题卷。第Ⅰ卷（试题卷）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.如果集合，则A的真子集有（）个A、31B、32C、63D、642.如果奇函数在区间［1，4］上是增函数且最大值是5，那么在区间［-4，-1］上是（）A、增函数且最大值为-5B、增函数且最小值为-5C、减函数且最大值为-5D、减函数且最小值为-53．三个数的大小顺序是（）A、B、C、D、4、若，则的值为（）A、0B、—1C、1D、以上均不对5．函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象（）A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位B、向左平移1个单位，再向上平移1个单位C、向右平移1个单位，再向上平移1个单位D、向右平移1个单位，再向下平移1个单位6．已知集合M={－1,1,2},N={y|y=x,xM},则MN是()A、{1}B、{1，4}C、{1，2，4}D、7．函数y=log2(x2－3x+2)的递增区间为（）A、(－,1)B、(2,+)C、(－,)D、(,+)8．已知直线和平面，下列推论中错误的是（）A、B、