江苏省天一中学2009届高三数学第二轮复习讲义高三数学二轮复习讲义（8）——数列的综合应用一、知识要点1、数列综合问题包括数列和函数、方程、不等式、解析几何等知识的综合；2、注重常见数学思想方法的应用，如：函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论、化归与转化。二、课前预习1、数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_______。2、等差数列中，前项和为，若，则=__________。3、设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_______。(1)(2)(3)4、一艘太空飞船飞往地球,第一次观测时,如图(1)发现一个正三角形岛屿(边长为1);第二次观测时,如图(2)发现它每边中央处还有一正三角形海岬,形成了六角的星形;第三次观测时,如图(3)发现原先每一小边的中央处又有一向外突出的正三角形海岬,把这个过程无限地继续下去,就得到著名的数学模型──“柯克岛”.把第1，2，3，…，n次观测到的岛的海岸线长记为a1，a2，a3，…，an，则an＝。三、典型例题例1、已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．（I）证明：；（II）若，证明数列是等比数列；（III）求和：例2、已知函数有两个相同的实数解，数列（1）求数列的通项公式；（2）试确定数列中n的最小值m，使数列从第m项起为递增数列；（3）设数列一位同学利用数列设计了一个程序，其框图如图所示，但小明同学认为这个程序如果执行将会是一个“死循环”（即一般情况下，程序将会永远循环下去而无法结束）.你是否赞同小明同学的观点？请说明你的理由.例3、设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；（3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.四、反馈训练1、等差数列{}的首项，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的项是__________2、从中任选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列有_______个3、已知数列的通项，在数列的前30项中最大项是______4、设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________5、给定，定义为整数的叫企盼数，则在区间[1,2005]内所有企盼数的和________6、如果一个数列满足，其中为常数，，，则称数列为等和数列，为公和，是其n项和。已知等和数列中，则=______=________7、在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，称为公差比，现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0；⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若,则数列是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.其中正确的命题的序号为_____________8、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；9、顺次为上的点，顺次为轴上的点，且，，为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设坐标为（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项的和，试比较与的大小（其中且）10、右表给出一个“三角形数阵”：已知每一列的数成等差数列；从第三行起，,每一行的数成等比数列，每一行的公比都相,,等，记第i行第j列的数为（1）求；（2）试写出关于的表达式；（3）记第n行的和为，求数列的前m项和的表达式。