6.1机械(jīxiè)求积公式引言我们知道(zhīdào),若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式(xíngshì)表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立(jiànlì)积分的近似计算方法。将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。同样对于函数f(x)的求导问题，因为在微分学中，函数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容—数值微分。数值积分(jīfēn)概述数值积分(jīfēn)的基本思想积分(jīfēn)值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图6-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般(yībān)是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法三个求积分(jīfēn)公式Simpson公式是以函数f(x)在a,b,(a+b)/2这三点的函数值f(a),f(b),的加权平均值似值而获得(huòdé)的一种数值积分方法。插值型求积公式设已知f(x)在节点(jiédiǎn)有函数值,作n次拉格朗日插值多项式其中(qízhōng)设插值求积公式(gōngshì)的余项为,由插值余项定理得定义6.2（代数精度）设求积公式（6.4）对于(duìyú)一切次数小于等于m的多项式(这是关于的线性方程组，其系数(xìshù)矩阵定理6.1n+1个节点的求积公式为插值型求积公式的充要条件是公式至少(zhìshǎo)具有n次代数精度。例6.1设积分(jīfēn)区间[a,b]为[0,2]，取时,分别用梯形和Simpson公式f(x)1xx2x3x4ex准确值222.6746.406.389梯形公式(gōngshì)计算2248168.389Simpson公式(gōngshì)计算222.6746.676.421取f(x)=1时，例6.2试确定一个至少具有(jùyǒu)2次代数精度的公式由于n+1节点的插值型求积公式至少有n次代数精度，所以构造(gòuzào)求积公式后应该验算所构造(gòuzào)求积公式的代数精度。例如插值求积公式的代数(dàishù)精度可以验证,对于f(x)=1,x时公式两端相等,再将f(x)=x2代入公式左端例6.5给定(ɡěidìnɡ)求积公式如下：/由插值型求积公式(gōngshì)的定义知，所给的求积公式(gōngshì)是插值型求积公式(gōngshì)。//例6.8确定(quèdìng)求积公式构造插值型求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分求积系数Ak只与积分区间(qūjiān)及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性(1)在积分区间(qūjiān)[a,b]上选取节点xk(2)求出f(xk)及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样就得到了例6.9对构造(gòuzào)一个至少有3次代数精度的求积公式牛顿(niúdùn)—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式在插值求积公式将积分区间(qūjiān)[a,b]划分为n等分,步长求积节点为为了计算系数Ak,由于,所以(k=0,1…,n)容易(róngyì)验证当n=2时几个低阶求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别得到(dédào)下面的梯形公式、Simpson公式和柯特斯公式。(1)梯形公式当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式证:由插值型求积公式的余项其中(qízhōng)可