2012寒假备选（2012吉林省10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．（1）当t=s时，点P与点Q重合；（2）当t=s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．【答案】解：（1）1。（2）。（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ=t，BP=t，又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。进一步分析可知此时点E与点F重合。当点P到达B点时，此时t=2。因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ。此时AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。∴EF=AF－AE=2（2－t）－t=4－3t，EG=EF=2－t。∴DG=DE－EG=t－（2－t）=t－2。。②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形。此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2－t。易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。∴AF=4－2t，PM=4－2t。又DM=DP－PM=t－（4－2t）=3t－4，∴DN=（3t－4）。综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：。【考点】动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此得t+t=2，解得t=1（s）。（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC。∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t。由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=。（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S。②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“”求出。（2012河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及的值（2）设点P的横坐标为①用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）由，得到x=－2，∴A（－2，0）。由，得到x=4，∴B（4，3）。∵经过A、B两点，∴，解得。设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。∴根据勾股定理，得AE=。∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。∴。（2）①由（1）可知抛物线的解析式为。由点P的横坐标为，得P，C。∴PC=。在Rt△PCD中，，∵，∴当m=1时，PD有最大值。②存在满足条件的值，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，锐角三角函数定义，二次函数最值。【分析】（1）求出点A、B的坐标，代入即可求出a，b。由PC∥y轴，得∠ACP=∠AEO，在Rt△AOE中应用锐角三角函数定义即可求得。（2）①用表示出点P、C的坐标，从而表示出PC的长：PC，由锐角三角函数定义得，代入即能用含的代数式表示线段PD的长。根据二次函数最值求法求得线段PD长的最大值。②如图，分别过点D，B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F，G。∵，∴设DP=k，CP=5k。∴根据勾股定理，得DC=k。∴。在Rt△PDF中，。又BG=4－m，∴。当时，解得；当时，解得。68.（2012广西桂林12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒