实验二卷积及微分、差分方程的求解一、实验目的1．学习利用MATLAB软件实现系统时域输入—输出分析法2．观察和掌握常用信号的波形的卷积结果。3．利用MATLAB实现微分、差分方程的求解。二、原理说明在连续线性时不变因果（LTI）系统的时域分析中，我们可以通过经典的微分方程的方法求解，同样在离散线性时不变因果（LTI）系统的时域分析中我们也可以利用经典的差分方程求解法。这两种方法都是通过求解方程的齐次解和特解得到的。无论哪种方法，都需要经过精确、繁琐的数学计算，它们在高等数学课中都有详细介绍，这里我们不再赘述。对于线性系统的零状态响应rf(t)，我们定义为在初始状态为零、系统只在激励信号e(t)作用下所产生的输出，若该系统的单位冲激响应为h(t)[系统在单位冲激信号作用下的零状态响应]，则系统的引入MATLAB算法以后，我们可以利用有限的几个函数就可以将方程的输入—输出关系求出，并且可以以图形的方式表达，从而方便、直接地观察系统的时域特性。三、预习要求1．本实验所用MATLAB函数（1）函数lsim能对由下列形式的微分方程求解为了在MATLAB编程中用向量a和b来表示该系统，即，。注意，系数ak和bm必须被存入MATLAB向量中，并且在序号k和m上以递增的次序存入，也就是向量a和b的元素排列是按微分方程的微分阶次降幂排列，缺项要用0补齐。其调用格式为：lsim(b,a,x,t)，只求出系统的零状态响应的数值解，不绘制响应的波形。（2）MATLAB提供了用于求连续系统单位冲激响应的函数impulse（），该函数还可以绘制出其时域波形，其调用格式为：impulse(b,a);impulse(b,a,t);impulse(b,a,t1:p:t2);不绘制系统的冲激响应波形，只计算出相对应的数值解。（3）单位阶跃响应单位阶跃响应s(t)是指连续LTI系统在单位阶跃信号u(t)激励下的零状态响应，可以表示为，公式表明，连续LTI系统的单位阶跃响应是单位冲激响应的积分，系统的单位阶跃响应和系统的单位冲激响应之间有着确定的关系，因此，单位阶跃响应也能完全表征一个LTI系统。MATLAB提供了求连续系统单位阶跃响应的函数step(),该函数可绘制其时域波形。其调用格式为：step(b,a);step(b,a,t);step(b,a,t1:p:t2);不绘制系统的阶跃响应波形，只计算出对应的数值解。（4）函数plot用于绘制二维x-y坐标图形，其调用格式为：plot(x,y)（5）函数subplot当需要在同一个图形中显示不同坐标刻度的两个图形时，可以采用将一个图形分隔为几个子窗口的方法来进行，调用格式为：subplot(m,n,k)其中，m和n分别表示图形窗口将分隔成m行n列的子窗口，k表示将第个子窗口作为当前的操作窗口。（6）函数conv该函数用来求两个函数f1和f2的卷积，调用格式为：conv(f1,f2)2．关于线性非时变因果系统的微分方程求解方法3．关于卷积积分的求解与性质四、内容和步骤1．微分方程求解某系统的输入—输出描述方程为：参考程序一如下：t=[0:10];%确定信号时间范围x=ones(1,length(t));%定义输入信号形式b=1;%方程描述a=[10.5];s=lsim(b,a,x,t);%方程求解plot(t,s,'r-')%系统输出信号波形绘制2．描述某线性时不变系统的微分方程为且，试求出系统的零输入响应、零状态响应、自由响应与强迫响应。通过解微分方程得到的全响应为：强迫响应自由相应零输入响应零状态响应参考程序二：b=[12];a=[132];dt=0.01;t=0:dt:5;x=t.^2;h=impulse(b,a,t);s=step(b,a,t);yzs1=dt.*conv(x,h);yzs2=lsim(b,a,x,t);figure(1)subplot(221);plot(t,exp(-t)-2*exp(-2*t));title('自由响应');subplot(222)plot(t,(t.^2-2*t+2));title('强迫响应');subplot(223)plot(t,3*exp(-t)+exp(-2*t));title('零输入响应');subplot(224);plot(t,-2*exp(-t)+t.^2-2*t+2);title('零状态响应');figure(2)subplot(221);plot(t,h);title('单位冲激响应');subplot(222);plot(t,s);title('单位阶跃响应');subplot(223