《微积分A》习题解答习题2.3(P111)1．求下列隐函数的导数.(2)y=1−xeyey解：两端同时对x求导：y′=−ey−xey⋅y′，故y′=−1+xey(4)ey=sin(x+y)cos(x+y)解：两端同时对x求导：eyy′=(1+y′)cos(x+y)，故y′=ey−cos(x+y)(6)xy=yxyx解：方程两端取对数：ylnx=xlny，两端同时对x求导：y′lnx+=lny+⋅y′xyy(xlny−y)故y′=x(ylnx−x)注：(6)最易出的错误是：利用幂函数或指数函数求导公式直接对原方程求导.实质上，方程两端均为幂指函数.ds2．设sin(st)+ln(s−t)=t，求的值.dtt=0解：由原方程可知，当t=0时，s=1s′−1方程两端同时对t求导：(s′t+s)cos(st)−=1s−tds将t=0，s=1代入得：=1dtt=04．用对数求导法计算下列函数的导数.(1)y=(sinx)cosx(sinx>0)y′cosx解：lny=cosxlnsinx，两端同时对x求导：=(−sinx)lnsinx+cosx⋅，ysinx第2章导数与微分第3节隐函数和参数方程的导数1/5《微积分A》习题解答2cosx⎡cosx⎤故y′=(sinx)⎢−(sinx)lnsinx⎥⎣sinx⎦5x−5(3)y=3x2+211解：lny=[ln(x−5)−ln(x2+2)]，两端同时对x求导：53y′12x15x−5⎡12x⎤=−，故y′=−23⎢2⎥y5(x−5)15(x+2)5x2+2⎣x−53(x+2)⎦2x(5)y=xx+2xx2xx解法1：设y1=x，y2=2，则y′=y1′+y2′2xxlnx而lny1=xlnx，lny2=xln2=eln2y1′x2+1两式分别两端同时对x求导：=2xlnx+x=x(2lnx+1)，y1′=x(2lnx+1)y1y2′xxxx=x(lnx+1)⋅ln2，y2′=2⋅x(lnx+1)⋅ln2y22x故y′=xx+1(2lnx+1)+2x⋅xx(lnx+1)⋅ln22x2xlnx解法2：y=exlnx+exln2=exlnx+e(ln2)e，利用复合函数求导法（略）5．求由下列参数方程所确定函数的导数.⎧x=θ(1−sinθ)(2)⎨⎩y=θcosθxθ′=1−sinθ−θcosθdyy′cosθ−θsinθ解：，故=θ=yθ′=cosθ−θsinθdxxθ′1−sinθ−θcosθ⎧x=ln(1+t2)(4)⎨⎩y=t−arctant2t1t2dyy′t解：x′=，y′=1−=，故=t=t2t221+t1+t1+tdxxt′2第2章导数与微分第3节隐函数和参数方程的导数2/5《微积分A》习题解答⎧x=f()t−πdy．设有参数方程，其中可导，且，求的值6⎨3tf()xf′(0)≠0.⎩y=f(e−1)dxt=03t3t3t3tdyyt′3ef′(e−1)dy解：xt′=f′()t，yt′=3ef′(e−1)，==，故=3dxxt′f′()tdxt=0⎧3atx=⎪1+t28．求参数方程⎨在t=2处的切线方程和法线方程.3at2⎪y=⎩⎪1+t23a(1+t2)−3at⋅2t3a(1−t2)6at(1+t2)−3at2⋅2t6at解：xt′==,y′t==(1+t2)2(1+t2)2(1+t2)2(1+t2)2dy6tdy6t4612所以=，==−，且当t=2时，x=a，y=a，22dx3(1−t)dxt=23(1−t)3551246故切线方程为：y−a=−(x−a)，即3y+4x−12a=05351236法线方程为：y−a=(x−a)，即4y−3x−6a=0545ππ9．求对数螺线ρ=eθ在点(,)(,ρθ=e2)处切线的直角坐标方程.2π⎧x=eθcosθπ解：对数螺线的参数方程为：，且当θ=时，x=0，y=e2⎨θ⎩y=esinθ2dyeθsinθ+eθcosθsinθ+cosθdy==，=−1θθπdxecosθ−esinθcosθ−sinθdxθ=2ππ故切线方程为：y−e2=−x，即x+y−e2=010．设球的半径以速率v变化，求球的体积和表面积的变化率.dR解：设在时刻t球的半径为R()t、球的体积为T()t，球的表面积S()t，由题意知=v，dt4dTdRdSdR由TR=π3，SR=4π2，得=4πR2