考研数学三线性代数（向量）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.jpg/>其中l1≠0。正确答案：由(I)可知，当l≠0时，系数l1，…，lm全不为零，所以将其代入(1)式得+k2α2+…+kmαm=0，即αm=0。又因为任意m一1个向量都线性无关，所以+km=0，即涉及知识点：向量η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：6．η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；正确答案：假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，(1)用矩阵A左乘上式两边，得0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0η*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=c0b，其中b≠0，则c0=0，于是(1)式变为c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，与假设矛盾。所以η*，ξ1，…,ξn-r线性无关。涉及知识点：向量7．η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。正确答案：假设η*，η*+ξ1，η*+ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1,…，cn-r使c0η*+c1(η*+ξ1)+…+cn-r(η*+ξn-r)=0，即(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0。(2)用矩阵A左乘上式两边，得0=A[(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r]=(c0+c1…+cn-r)Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=(c0+c1…+cn-r)b，因为b≠0，故c0+c1+…+cn-r=0，代入(2)式，有c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1,…,ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，则c0=0，与假设矛盾。综上，向量组η*，η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关。涉及知识点：向量8．设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(a1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(I)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。正确答案：必要性：令B=(b1，存在可逆矩阵P使PA=于是有PB=PAK=。由矩阵秩的性质r(B)=r(PB)=r=r(K)，即r(B)=r(K)=r，因此向量组(I)线性无关。涉及知识点：向量9．设a1，a2，…，an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。正确答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此r(a1，a2，…，an)=n。对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1,故a1，a2，…，an,b线性相关。综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组n维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。综上，r(a1，a2，…，an)=n。所以a1，a2，…，an线性无关。涉及知识点：向量设向量组α3=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，0)T线性表示。10．求a的值；正确答案：由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3表示，且由|α1，α2，α3|≠0，知α1，α2，α3线性无关，所以β1，β2，β3线性相关，即|β1，β2，β3|==a—5=0，解得a=5。涉及知识点：向量11．将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示。正确答案：本题等价于求三阶矩阵C，使得(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C。所以C=(α1，α2，α3)-1(β1，β2，β3)=。因此(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，所以β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2一2α。涉及知识点：向量12．设向量组α1=(n，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，