主讲教主讲教师：师：李晓沛李晓沛1１．定积分的定义复习nbfx()dxlimIfi(xi)a0i1定积分与积分变量的记号无关：bbbfx()xdfy()ydft()td.aaa2．定积分的几何意义b()fdxx等于曲线yfx(与直线)xa,xba及x轴所围成的几个曲边梯形的面积的代数和.22．定积分的性质性质1线性性质()bbb[fx()gxx()]dfxx()dgxx()d,aaa式中,、为常数.ba性质2f()()xdxfxdx.ab复习3性质3对区间的可加性()bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dxaac不论a,,b的相对位置如何,c上式总成立.性质4bb1xdxdbaaa复习4性质5保号性()b()f若0x,x[,a],b则fx()xd0.a(小于零的情形类似.)推论1bb(fxgxxab)(若)[,],则fxx()dgxx()d.aa复习5推论2bb|()dfxx|f|x()|dxaa性质7(估值定理),M设m分别为()fx在[,a上的最大]b最小值,则,bm(b)a(f)xdx(M)b.aa复习6性质7积分中值定理()(fx)([若Cab,]),gx()Rab([,且]),gx()在[a,b上保持符号不变],则[a,b]使得,bb()()dfxgxx()f()dgxx.aabf(x)dx(f)(ba).a复习7如何求函数在区间[a,b]上的定积分？8第五章第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用定积分及其应用第三节第三节微积分基本公式微积分基本公式9一.积分上限函数及其导数对可积函数f(x)而言每给定一对,,ab值就有,b确定的定积分值I(f)xdx与之对应.ab这意味着(f)x的定积分fx()与它的上下限xda之间存在一种函数关系.10固定积分下限a不变,让积分上限x变化,x积分f()tdt有什么变化？ayyf()xaOxxbx11xf(t)dtyayf()xaOxxbx曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化。12固定积分下限不变,让积分上限变化,则得到积分上限函数:xx()xΦ(f)xdx(f)tdtx[a,b].aaba由积分的性质f(：)xdxf()xd有x,abbx(f)tdtf(t)dt,xb所以，我们只需讨论积分上限函数.b(f)td称为积分下限函数t.x13x定理定理(1fxCab1)若([,]),则(x)fttab(在)d[,]a上可导,且dx()x(f)tdt(f)xa(xb).dxax这说明Φ(x)f(t)d是taf(x)在[a,上的一个原函数b].上定理揭示了定积分与不定积分的联系.14x2(例1)设Fsin(x1t2)td求F,x().0u()令gusin(1t2)t则d,解0(g)usin(u12)令ux2,则x2()gx2sin(t12t)dFx().0du故F(x)g(u)dxsin(1u)22x2xsin(4x1).这是复合函数求导,你能由此写出它的一般形式吗?15一般地,()若x可导,f(x)C则,()x()F(x()fdt)tf((x))x().a16例2果如f()t连续，a()x、b()x可导，b()xF求()()xft的导数dtF()xa()x0b()xF解x()()ftdt()ftdta()x0b()xa()xf()tdtf(),tdt00Fx()()()()()fbxbxfaxax17x2例3cost2dt求lim0x0x2解x22costdtcosx4x2lim0limlimcosx41x0x2x02xx018微积分基本公式x()fxCab如果([,]),则fttfx(为)d在()ab上[,]a的一个原函数.若已知f(x的一个原函数)(F)x,则有xf(t)tdF(x)