矩阵的初等变换与初等矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§2.2矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1下列三种变换称为矩阵的初等列变换：（1）交换矩阵的第列，用记之；（2）用非零数乘矩阵的第列，用记之；（3）把矩阵的第列的倍加到第列，用记之。矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。如果矩阵经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵，就称矩阵与(行，列)等价，记作。矩阵的等价具有以下性质：（1）反身性；（2）对称性如果，则；（3）传递性如果，，则。利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。以§为例，矩阵的行最简形为，再经初等列变换化为。称矩阵为矩阵的等价标准形。定理2.1矩阵经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。2．初等矩阵定义2.2由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。相应于矩阵的三种初等变换，初等矩阵(elementarymatrix)有三种：（1）：由单位矩阵交换第行(列)而得的方阵；（2）：由单位矩阵的第行(列)乘非零数而得的方阵；（3）：由单位矩阵的第行乘数加于第行而得的方阵，也即由单位矩阵的第列乘数加于第列而得的方阵。在矩阵的初等变换与初等矩阵之间，存在着一种本质而美妙的关系。定理2.2设。（1）对矩阵施以某种初等行变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵左乘。（2）对矩阵施以某种初等列变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵右乘。证明以第三种初等列变换为例证之。将矩阵和单位矩阵按列分块，，。经列变换，矩阵和单位矩阵分别变换为，。由§1.4节例4.2知，于是。。其余情形请读者证明。由定理2.2可知，初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵，具体如下：，，。定理2.3阶方阵为可逆矩阵的充分必要条件是可以表成若干初等矩阵的乘积。证明若可表成若干初等矩阵的乘积，由初等矩阵可逆，即知可逆。若可逆，则的行最简形为单位矩阵，由定理2.2知，存在初等矩阵，使，于是。定理2.4矩阵与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵及阶可逆方阵，使。更具体地有（1）矩阵与行等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵，使。（2）矩阵与列等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵，使。3．矩阵方程的初等变换解法对一般形式的矩阵方程，可以通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后解之。因此，这里主要介绍标准矩阵方程，的初等变换解法。设为可逆矩阵，则矩阵方程的解为。注意，由定理2.4知，经若干次初等行变换可以化为。对矩阵方程可作类似的分析。因此，我们有（1）矩阵方程的初等行变换解法：，。特别地，取，则有逆矩阵的初等变换求法：。（2）矩阵方程的初等列变换解法：，。例2.1已知，求。解，因此。例2.2设，，，求线性方程组和的解。解设，。记，，则两个线性方程组可合成一个矩阵方程。。线性方程组和的解依次为和。例2.3设，，求解。解，因此。4．矩阵的分块初等变换定义2.3分块矩阵的下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换：（1）对换分块矩阵的两行；（2）以一个可逆矩阵左乘分块矩阵的某一行(的阶数与该行子矩阵的行数相等)；（3）把分块矩阵的第行左乘矩阵加到第行(的列数与第行子矩阵的行数相等，的行数与第行子矩阵的行数相等)。把定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等列变换的定义。分块矩阵的初等行变换与初等列变换统称为分块矩阵的初等变换，或称为矩阵的分块初等变换。对矩阵施行一次分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换：（1）对矩阵施行一次第一种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第一种初等变换。（2）对矩阵施行一次第二种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次初等变换。对分块初等列变换加以说明。设矩阵分块为，其中子矩阵的列数为。以阶可逆矩阵右乘分块矩阵的第列得分块矩阵，由定理2.4知，分块矩阵是分块矩阵对子矩阵施行若干次初等列变换而得的。（3）对矩阵施行一次第三种分块初等变换，就是对矩阵施行若干次第三种初等变换。对分块初等列变换加以说明。设矩阵分块为，其中子矩阵为矩阵。设矩阵，以乘子矩阵的第1列，乘子矩阵的第2列，…，乘子矩阵的第列