2022年研究生考试数学三真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当x0时，x,x是非零无穷小量，给出以下四个命题①若x~x，则2x~2x②若2x~2x，则x~x③若x~x，则xxox④若xxox，则x~x其中正确的序号是（）（A）①②（B）①④（C）①③④（D）②③④【答案】C(x)2(x)(x)2【解析】当x0时，(x):(x)，则lim1,limlim1，则：x0(x)x02(x)x0(x)(x)(x)lim0，所以(x)(x)o((x))，故①③正确；x0(x)2(x)(x)(x)当x0时，2(x):2(x)，则lim1，则lim1，当lim1时，x02(x)x0(x)x0(x)(x)与(x)不是等价无穷小，所以②不正确；(x)(x)(x)当(x)(x)o((x))时，limlimlim1，④正确.x0(x)x0(x)o((x))x0(x)1n（2）已知annn1,2,L，则a（）nnn（A）有最大值，有最小值（B）有最大值，没有最小值（C）没有最大值，有最小值（D）没有最大值，没有最小值【答案】（A）数学（三）解析1n1【解析】limalimnn1,a21,a21，则a有最大值，有n122nnnn最小值（3）设函数ft连续，令Fx,yxyxytftdt，则（）0FF2F2FFF2F2F（A）,（B）,xyx2y2xyx2y2FF2F2FFF2F2F（C）,（D）,xyx2y2xyx2y2【答案】C【解析】原式(xy)xyf(t)dtxytf(t)dt00F则：xyf(t)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)xyf(t)dt，x002Ff(xy)2x同理：Fxyxyf(t)dt(xy)f(xy)(xy)f(xy)f(t)dty002Ff(xy)2yFF2F2F综上所述：,.xy2x2y1xln(1x)2x（4）已知Idx，I1dx，I1dx，则（）102(1cosx)201cosx301sinx（A）III（B）III123213（C）III（D）III132321【答案】Ax11【解析】令h(x)ln(1x)，h(x)0，x0,1，于是h(x)单调递增，21x2xxln(1x)又由h(0)0可知h(x)ln(1x)0，其中x0,1，故，22(1cosx)1cosx数学（三）解析故II.当x0,1时，(1sinx)ln(1x)(1sinx)2x2x(1cosx)，则12ln(1x)2x，故II.1cosx1sinx23100（5）设A为3阶矩阵，010，则A特征值为1,1,0的充分必要条件是（）000（A）存在可逆矩阵P,Q，使得APQ（B）存在可逆矩阵P，使得APP1（C）存在正交矩阵Q，使得AQQ1（D）存在可逆矩阵P，使得APPT【答案】（B）【解析】若（B）成立，则矩阵A与相似，特征值相等，可推出A特征值为1,1,0若A特征值为1,1,0，则矩阵A可以相似对角化，矩阵A与相似，所以（B）为充要条件1111（6）设矩阵A1aa2,b2，则线性方程组Axb的解的情况为（）1bb24（A）无解（B）有解（C）有无穷多解或无解（D）有唯一解或无解【答案】（D）【解析】Aa1b1ba，当a1,b1,ab时，方程有唯一解，1111当ab1时，A,b