数值分析课后习题全解（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第5章MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter1Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r1\h\*MERGEFORMAT数值分析课后习题全解第5章：解线性方程组的直接方法证明：由消元公式及A的对称性得故对称2．证明：（1）因A对称正定，故其中MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\h\*MERGEFORMAT=（0,…,0,1,0,...,0）为第i个单位向量.(2)由A的对称性及消元公式得=-=-=，I,j=2,…,n故也对称.又=其中显然非其异,从而对任意的x0,有X0,(x,AX)=(x,AX)>0(由A的正定性)故正定.又=,而>0,故正定.3.证明由矩阵乘法简单运算即得证.4.解设有分解=由公式其中,,分别是系数矩阵的主对角线元素及下边和上边的次对角线元素.故有从而有=故==,===,=故=1,=,=,=解(1)设U为上三角阵=因=，故=.因+=,故=,i=n-1,n-2,,1当U为下三角阵时=得,=,=,i=2,3,…,n.(2)除法次数为n,乘法次数为1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2故总的乘法次数为n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.(3)设U为上三角阵,=S,侧S也是上三角阵.由=得,i=1,2,…,n=-,j=i+1,i+2,…,n;i=n-1,n-2,…,1当U为下三角阵时,由=得,i=1,2,…,n=,i=2,3,…,n;j=1,2,…,i-1证明(1)因A是对称正定阵,故存在唯一的分解A=L,其中L是具有正对角元素的下三角阵.从而=(L)=()L=(L)L(A)===故是对称矩阵.又非奇异,故对任意的x0,有x0,故X==>0故是对称正定矩阵,即也对称正定.(2)由A对称正盯,故A的所有顺序主子式均不为零,从而A有唯一的Doolittle分解A=U.又U==D其中D为对三角阵,为单位上三角阵,于是A=U=D又A==D由分解的唯一性即得=从而有A=D又由A的对称正定性知=>0,=>0(i=2,3,…,n)故D===故A=D==()()=LL其中L=为三角元为正的下三角矩阵.7.解[A|I]=->->->->->==解设有分解=由公式其中，，分别是系数矩阵的主角线元素及其下边和上边的次对角线元素，则有，，，，，，，由得=，，，，由得=，=，=，=，=9．解设=由矩阵乘法得=2，，，由得，，由得故==2.5555556，=0.7777778，==1.111111110．解A中=0，故不能分解。但det(A)=-100,故若将A中第一行与第三行交换，则可以分解，且分解唯一。B中，==0，但它仍可以分解为B=其中为一任意常数，且U奇异，故分解且分解不唯一，对C，0，i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。C=11．解=0.8426150==0.6853407故=0.827853112．证明（1）有定义知故（2）由范数定义，有=故13．证明（1）因P非奇异，故对任意的x0，有0，故，当且仅当x=0时，有成立。（2对任意，有（3）故是上的一种向量范数。14．证明（1）因A正定对称，故当x=0时，=0，而当x0时，=。（2）对任意实数c，有（3）因A正定，故有分解A=L，则故对任意向量x和y，总有综上所知，是一种向量范数。15．证明因为由向量范数的等价性知，存在常数>0,使对任意x,有故令,则有即16.证明故17．证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且min=7解故==39205.974519．证明因A正交，故，从而有故=120．证明21．证明（1）故为对称矩阵。又A非奇异，故对任意向量，有，从而有即为对称正定矩阵。（2）杭州生活的豆丁关于几个问题的声明：1、买文档优惠方法：如果有支付宝账户的话，请通过支付宝进行交易，费用7折，请先把要买的文档的链接发信息到我的豆丁，然后我们联系，一般4个小时之内会联