中国石油大学（华东）第二十届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则..解当时，，.于是，根据题设有，故a=-4.2..解=,而，故原式=3.设函数在处连续，则.解由题设知，函数在处连续，则，又因为.所以.4..5..解：本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.7.8.9.10.设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则.解两边对求导得.令，则,.即①设，则.则由①可得.故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2.设是锥面的下侧，计算曲面积分..解设：，取上侧，则.而＝，.所以.三、证明题（本题8分）：Y解（I）l2CoXl3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（II）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得所以，从而中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1.若时，与是等价无穷小，则.解题过程是：若时，与是等价无穷小，，则，故.2..解题过程是：.3.曲线，渐近线的条数为：3..解题过程是：曲线渐近线有3条：垂直渐近线，水平渐近线，斜渐近线.4..5.微分方程.解题过程是：6..解题过程是：7.解题过程是：解：令，是奇函数，得=8.设函数的一个原函数是，则=.解题过程是：=.9.=解题过程是：10.设曲线，.解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：解题过程是：又故曲线L的方程为：.2.设，计算曲面积分解题过程是：而故解题过程是：解题过程是：等式两边对t求导得解题过程是：解：（1）的驻点内的驻点为：.（2）构造拉格朗日函数：条件极值驻点为：（3）比较最小值为0。最大值为8.6.设曲面，计算曲面积分.解题过程是：解：由曲面的对称性和被积函数对称轮换性，==，======.解题过程是：三、证明题（本题8分）：证：构造辅助函数则证明思路使得再用两次罗尔定理得到结论.（1）则使得已知，用罗尔定理，与，使得，，进而，使得，即（2）则与，。使得，，由连续函数的零点定理，存在介于之间的使得又，由罗尔定理，与，使得，，进而，使得，即综合上述，，使得证毕.中国石油大学（华东）第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共50分）：1..解题过程是：2..解题过程是：.3.，则的零点个数为：1个.4..5..解题过程是：6...解题过程是：8..解题过程是：.9..解题过程是：10.解题过程是：.二、计算题（每小题6分，本题共42分）：2...解题过程是：2.解题过程是：解题过程是：5.解题过程是：解：构造拉格朗日函数：条件极值驻点为：，，最远点为，最近点为6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分与曲面S的形状无关.[解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一侧，，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得,即解线性非齐次方程得.7.设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.[解]设点Q为，则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得，，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得..三、证明题（本题8分）：证：由定积分中值定理，可知至少存在一点又由一、填空题（每小题4分，本题共20分）：1．_____2．设在处连续，则_______3．4．设L为椭圆，其周长记为，则.12a5．设的方程是，则二、选择题（每小题4分，本题共20分）：1．若连续，且，则（A）2．若可导，且在的某邻域内有则（A）3．设且可导，则（D）（A）0（B）（C）（D）4.设为曲线和直线所