2012江苏高考数学压轴题集选1.设Tn为数列an的前n项之积，满足Tn1an(nN)．1(1)设bn，证明数列bn是等差数列，并求bn和an；Tn22211设求证：．(2)SnT1T2Tnan1Snan24Tn解：(1)∵Tn1an(nN),an,(n2)，Tn1∴数列bn是以2为首项，以1为公差的等差数列，111∴bn2(n1)n1，∴Tn，∴an1Tn1bnn1n1222111(2)，SnT1T2Tn22223(n1)111111111∵222an123(n1)2334(n1)(n2)2n221111111∴，当时，an1Snn22222223(n1)223n(n1)1111a，42n1n4111当n1时，ST2a，∴Sa.11414nn41/44ax(1)2.函数f()xxln(xaR0,)．x（1）试求f()x的单调区间；（2）当a0时，求证：函数f()x的图像存在唯一零点的充要条件是a1；111（3）求证：不等式对于x(1,2)恒成立．lnxx121axa解：（1）fx/()(x0)．xxx22当a0时，fx/()0，在(0,)上单调递增；当a0时，x(0,a)时，fx/()0，在上单调递减；xa(,)时，fx/()0，在(,a)上单调递增．综上所述，当a0时，f()x的单调递增区间为(0,)；当a0时，f()x的单调递增区间为(,a)，单调递减区间为(0,a)．（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，即fxfmin()(1)0.而（0，1）在上单调递减，在(1,)上单调递增，在(0,)上由唯一的一个零点x=1．必要性：f()x=0在(0,)上有唯一解，且a>0,由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即lnaa10．11a令ga()lnaa1，ga/()1．aa当01a时，ga/()0，在（0，1）上单调递增；当a>1时，ga/()0，在(1,)上单调递减.gagmax()(1)0，ga()=0只有唯一解a=1．2/44111∴(1)ln2(1)0xxx.∴(1x2)．lnxx12*3.已知数列an的前n项和为Sn，且满足22Spannn，nN，其中常数p2．（1）证明：数列an1为等比数列；（2）若a23，求数列an的通项公式；*（3）对于（2）中数列an，若数列{}bn满足bannlog2(1)（nN），在bk与bk1k1*之间插入2（kN）个2，得到一个新的数列{}cn，试问：是否存在正整数m,使得数列{}cn的前m项的和Tm2011?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵22Spannn，∴22(1)Spannn11，∴22apapannn11，p2∴aa，∴nn1pp22paa1(1)，…………………………………4分nn1p2p∵22apa，∴a0，∴a10111p21an11p∴0，∴数列an1为等比数列．apn12pp（2）由（1）知a1()n，∴a()1n……………………………np2np28分3/44p又∵a3，∴()132，∴p4，∴a21n……………………………2p2n10分n*（3）由（2）得bnlog22，即bnnNn,()，数列{Cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：012kk2kk(1)（123k)(2222)222…………………12分2当k=10时，其和是55210210772011当k=11时，其和是66211221122011又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数………………………………14分所以当28时，，m10(1222)467988Tm2011所以存在m=988