2023考研数学三真题及解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.()()1．已知函数fx,y=lny+xsiny，则（）.∂f∂f∂f∂f（A）不存在，存在（B）存在，不存在∂x(0,1)∂y(0,1)∂x(0,1)∂y(0,1)∂f∂f∂f∂f（C）均存在（D）均不存在∂x(0,1)∂y(0,1)∂x(0,1)∂y(0,1)【答案】（A）【解析】本题考查具体点偏导数的存在性，直接用定义处理，f(0,1)=0()∂ff(x,1)−f(0,1)ln1+sin1xsin1xsin1,x→0+=lim=lim=lim()∂x0,1x→0xx→0xx→0x−sin1,x→0−∂f故不存在∂x(0,1)∂ff(0,y)−f(0,1)lny=lim=lim=1∂f()，存在，选（A）∂y0,1y→1y−1y→1y−1∂y(0,1)1,x≤0,2.函数f(x)=1+x2的一个原函数是()(x+1)cosx,x>0.ln(1+x2−x),x≤0,ln(1+x2−x)+1,x≤0,(A)F(x)=(B)F(x)=(x+1)cosx−sinx,x>0.(x+1)cosx−sinx,x>0.ln(1+x2−x),x≤0,ln(1+x2−x)+1,x0,≤(C)F(x)=(D)F(x)=(x+1)sinx+cosx,x>0.(x+1)sinx+cosx,x>0.【答案】(D).【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.1()【详解】由于当x<0时，F(x=)∫d=xln1+x2+x+C1+x21当x>0时，F(x)=∫(x+1)cosxdx=(x+1)sinx+cosx+C2由于F(x)在x=0处可导性，故F(x)在x=0处必连续因此，有limF(x)=limF(x)，即C=1+C.12x→0−x→0+ln(1+x2−x)+1,x0,≤取C=0得F(x)=应选(D).2(x+1)sinx+cosx,x>0.【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过.原题为2(x−1),x<1,已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是()lnx,x≥1.(x−1)2,x<1,(x−1)2,x<1,(A)F(x)=(B)F(x)=x(lnx−1),x≥1.x(lnx+1)−1,x≥1.(x−1)2,x<1,(x−1)2,x<1,(C)F(x)=(D)F(x)=x(lnx+1)+1,x≥1.x(lnx−1)+1,x≥1.3．若微分方程y′′+ay′+by=0的解在(−∞,+∞)上有界，则（）（A）a<0，b>0（B）a>0，b>0（C=）a0，b>0（D=）a0，b<0【答案】（C）−a±a2−4b【解析】特征方程为r2+ar+b=0，解得r=．记∆=a2−4b1,22r⋅xr⋅xc,c当∆>0时，方程的通解为y=(x)ce1+ce2，当不全为零时y(x)在(−∞,+∞)上无界.1212当c,c不全为零时y(x)在(−∞,+∞)上无界.12−arxrxc,c当∆=0时，r==r<0，方程的通解为y=(x)ce1+cxe1，当不全为零时y(x)在(−∞,+∞)1221212上无界.−a±4b−a2iaa−x当∆<0时，r==−±βi,方程的通解为=y(x)e2(ccosβx+csinβx)．1,22212只有当a=0，且∆=a2−4b<0，即b>0时，lim=y(x)lim=y(x)0，此时方程的解在(−∞,+∞)上有x→+∞x→−∞界.故选（C）【评注】此题关于x→+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题.∞∞∞∞4.已知a<b(n=1,2,)，若∑a与∑b均收敛.则∑a绝对收敛是∑b绝对收敛的（）nnnnnnn=1n=1n=1n=1（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件【答案】（A）∞∞【解析】由题设条件知∑(b−a)为收敛的正项级数，故∑(b−a)也是绝对收敛的nnnnn=1n=1∞∞若∑a绝对收敛，则b=b−a+a≤b−a+a，由比较判别法知，∑b绝对收敛；nnnnnnnnnn=1n=1∞∞若∑b绝对收