高考导数讲义一：零点问题例1、设函数fx3ax2bxc.x.在点0,f0处的切线方程;(II设ab4，若函数（III求证：a23b〉0是解：（I）由fxx3ax2因为f0c，f0b，（i）求曲线y所以曲线yffx在点0,fx有三个不同零点，求c的取值*围;X.有三个不同零点的必要而不充分条件.bxc，得fx3x22axb.0处的切线方程为y(II当ab4时，x34x24xc,所以fx3x28x令fx0，得3x28x0，解得x2或xx,22022,32323,fx00fx/c32c—27上的情况如下:fx与fx在区间所以当c0且c320时，存在％4,L/2,2„.〃3,0，使得f0fx2fx3.32x的单调性知，当且仅当c0,有时，2/函数x34x24xc有三个不同零点.(III当4a212b0时，fx3x22axb,，此时函数fx在区间上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点.当4a212b0时3x22axb只有一个零点，记作x°.当x,x时，fx0,fx在区间,x上单调递增；当xx0,时，fx0,fx在区间x0,上单调递增.所以fx不可能有三个不同零点.综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有4a212b0.故a23b0是fx有三个不同零点的必要条件.当ab4,c0时，a23b0,fxx34x24xxx22只有两个不同零点，所以323b0不是fx有三个不同零点的充分条件.因此a23b0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件.例2.设函数fx2^klnx,k0.求fx的单调区间和极值；(id证明：若fx存在零点，则fx在区间i,je上仅有一个零点.【答案】(I)单调递减区间是(0,衣)，单调递增区间是(jk,);极小值f0Qk(1；nk);(II证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(I)先对fx求导，令f'(x)。解出X,将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当xt'k时，函数取得极小值，同时也是最小值；(ID利用第一问的表，知f&Q为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值k(1；nk)°,从而解出ke,下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：(I)由fxmklnx,(k0)得kx2kf'(x)x一.xx由f'(x)0解得x衣.f(x)与f'(x)在区间(0,)上的情况如下:所以，f(x)的单调递减区间是(0】k)，单调递增区间是(jk,);—._k(1Ink)f(x)在xJk处取得极小值f«k)—-_.k(1Ink)(II)由(I)知，f(x)在区间(0,)上的最小值为f(Jk)——-——「/、-k(1Ink)因为f(x)存在零点，所以—-—0,从而ke.当ke时，f(x)在区间(1/e)上单调递减，且f(\；e)0,所以x"是f(x)在区间(1,2］上的唯一零点.一一，、，一・-、—、1八八/,一、ek八当ke时，f(x)在区间(0,\，e)上单调递减，且f⑴—0,f(\/e)—-—0,所以f(x)在区间(1疽e］上仅有一个零点.综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1,2］上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题.利用导数求函数fx的单调性与极值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③求方程fx0的所有实数根；④列表格.证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.例3.设函数fxe2xalnx.讨论fx的导函数fx的零点的个数；2(ID证明：当a0时fx2aaln—.a【答案】(I)当a<0时，f'(x)没有零点；当a〉0时，仁(x)存在唯一零点.(ID见解析【解析】试题分析：(I)先求出导函数，分a<°与a>0考虑fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；(II由(I)可设f'(x)在0,+s的唯一零点为七，根据fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即…一一I2一一—可证明其最小值不小于2a+aln-,即证明了所证不等式.试题解析：(I)f(x)的定义域为°，+8,f(x)=2e2x_—x>°.x0,+8单调递增.又f(a)>0,当b