第一章抽样和抽样分布3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值x1,x2,…,xn的平均数为和方差为作变换，得到y1,y2,…,yn,它的平均数为和方差为。试证：。解：因为所以所以成立因为所以成立8．若从某母体中抽取容量为13的子样：-2.1,3.2,0，-0.1,1.2，-4，2.22,2.01,1.2，-0.1,3.21，-2.1,0.试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.219．从同一母体抽得的两个子样，其容量为n1和n2，已经分别算出这两个子样的平均数和,子样方差和。现将两个子样合并在一起，问容量为n1+n2的联合子样的平均数与方差是什么？解：12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求和。解：14.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个子样，求的概率分布。解：因为所以由分布定义可知服从分布所以15.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又设。试决定常数C,使得随机变量CY服从分布。解：因为所以同理由于分布的可加性，故可知18.设X1，X2，……，Xn，Xn+1，……，Xn+m是分布为的正态母体容量n+m的子样，试求下列统计量的概率分布：（1）（2）解：（1）因为所以（2）因为所以第二章参数估计4.设母体X的分布密度为f(x)=其中(1)求的最大似然估计量;(2)用矩法求的估计量.解：（1）设为样本观察值则似然函数为：解之得：（2）母体X的期望而样本均值为：７．设母体X具有均匀分布密度,，从中抽得容量为6的子样数值1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解：由题意知：均匀分布的母体平均数，方差用极大似然估计法求得极大似然估计量似然函数：选取使达到最大取由以上结论当抽得容量为6的子样数值1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，时即8.设母体X的分布密度为f(x)=。试求的最大似然估计。解：取子样值为则似然函数为：要使似然函数最大，则需取即=14.设X1,X2,…,Xn为母体的一个子样。试选择适当常数C,使为的无偏估计。解：由题意：因为要使只需所以当时为的无偏估计。21．假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体，故由中心极限定理知近似服从即解得置信区间为本题中将代替上式中的由题设条件知查表知代入计算的所求置信区间为（0.14040.3596）29．随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:设测试数据分别具有分布和。试求的置信概率为95%的置信区间。解：因故用统计量其中计算得置信区间为把=0.000006571=2.364代入可得所求置信区间为（-0.0020160.008616）。31．两台机床加工同一种零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比的置信区间(给定置信概率为95%).解：由题意，未知，则则经计算得解得的置信区间为查表：带入计算得的置信区间为：。第三章假设检验2.从正态母体N(,1)中取100个样品,计算得=5.32.(1)试检验H0:是否成立（）？(2)计算上述检验在时犯第二类错误的概率.解:(1)已知,故的拒绝域因显著水平,则故此时拒绝:(2)检验时犯第二类错误的概率令则上式变为7．某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。今在某段时间内随机的抽取15段进行测量，某结果如下（cm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.2，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7。问此段时间内该机工作是否正常（）？假定金属棒长度服从正态分布。解：金属棒长度服从正态分布原假设，备择假设拒绝域为样本均方差于是而因故接受，认为该机工作正常。*9．有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种安眠药平均增加睡眠时间3小时。根据质料用旧安眠药睡眠时间平均为20.8小