2024年下半年教师资格考试高级中学数学学科知识与教学能力试卷及答案解析一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在平面直角坐标系xOy中，直线x=a(a>0)与曲线y=√(x)和y=(x^2)/4有公共点，则a的取值范围是()A.(0,4]B.[0,4]C.(0,2]D.[0,2]首先，考虑曲线y=x。由于x的定义域是[0,+∞)，并且它是增函数，当x=a时，y=a。因此，这条曲线在直线x=a上的点的纵坐标是a。其次，考虑曲线y=x24。这是一个开口向上的抛物线，其顶点在原点。当x=a时，y=a24。因此，这条曲线在直线x=a上的点的纵坐标是a24。由于直线x=a与这两条曲线有公共点，那么必须存在某个a使得a≥a24。解这个不等式，我们得到：a≥a244a≥a2a2−4a≤0a−4a≤00≤a≤40≤a≤16但是，由于a>0，并且当a>4时，a<a24（可以通过观察函数图像或进一步计算验证），因此a的取值范围实际上是(0,4]。故答案为：A.(0,4]2、设函数f(x)={(3a-1)x+4a,x<1logₐ(x),x≥1}是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A.(0,1/7)B.(0,1/3)C.(0,1/7]D.[1/7,1/3)首先，考虑函数的第一部分：fx=3a−1x+4a，当x<1。要使这部分为减函数，需要其导数小于0，即：3a−1<0解得：a<13其次，考虑函数的第二部分：fx=logax，当x≥1。由于对数函数的单调性取决于底数，当底数在(0,1)之间时，函数是减函数。所以：0<a<1最后，考虑两部分函数在x=1处的连接。由于整体函数是减函数，所以在x=1处，第一部分函数的值应该大于等于第二部分函数的值，即：3a−1×1+4a≥loga1由于loga1=0（任何数的0次方都是1，对数函数的定义），所以：3a−1+4a≥07a≥1a≥17综合以上三个条件，得到：17≤a<13故答案为：D.[17,13)3、若函数f(x)={x^2+bx+c,x≤02,x>0}满足lim(x→0)f(x)=f(0)，则()A.b=0,c=2B.b∈R,c=2C.b=0,c∈RD.b=2,c∈R首先，考虑函数fx在x>0的部分，即fx=2。当x趋近于0但4、以下哪项是函数fx=log12x2−4x+3的定义域？A.−∞,1∪3,+∞B.1,3C.−∞,1]∪[3,+∞D.−∞,1∪[3,+∞)答案：A解析：对于对数函数fx=logab，其中a是底数，b是真数，要求a>0，a≠1，且b>0。在本题中，底数为12，满足条件。因此，我们需要找出真数x2−4x+3>0的解集。解这个不等式，我们得到x−1x−3>0，从而解得x<1或x>3。所以，函数的定义域为−∞,1∪3,+∞。5、设随机变量X服从正态分布N1,σ2，若PX<0=0.3，则P0<X<2=A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B解析：正态分布曲线是关于其均值（这里是1）对称的。已知PX<0=0.3，由于正态分布的对称性，我们有PX>2=PX<0=0.3。又因为正态分布的全概率为1，所以P0<X<2=1−PX≤0−PX≥2=1−2×0.3=0.4。注意，这里PX≤0和PX<0是近似相等的，因为正态分布是连续分布，在单个点（如0）上的概率为0。6、设随机变量X～N(1,σ^2)，若P(X<2)=0.6，则P(0<X<1)=_______．答案：0.2解析：随机变量X服从正态分布N1,σ2，这意味着其均值（或期望值）为1，方差为σ2，但方差在此题中不影响我们求解概率。正态分布曲线是关于其均值（这里是1）对称的。已知PX<2=0.6，由于正态分布的对称性，我们有PX>0=PX<2=0.6（注意这里我们稍微放大了范围，但由于正态分布曲线的连续性，这种放大对概率的影响可以忽略不计）。又因为全概率为1，所以P0≤X≤2=1−PX<0−PX>2=1−2×1−0.6=0.4（同样地，这里我们用了PX≥0和PX<0的近似关系）。最后，由于正态分布的对称性，我们有P0<X<1=12×P0≤X≤2=0.2。7、在平面直角坐标系中，点P(2,-3)到x轴的距离是_______．A.2B.-2C.3D.-3答案：C解析：在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点的y坐标的绝对值。对于点P2,−3，其y坐标为-3，所以点P到x轴的距离为−3=3。8、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，b=5，c=6，则cosA=()A.1/4B.-1/4C.3/4D.-3/4答案：B解析：在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6。根据余弦定理，我们有cosA=b2+c