第21卷第2期内江师范学院学报No12Vol121JOURNALOFNEIJIANGTEACHERSCOLLEGE·13·积分因子法在微积分学中的应用曾德强,吴开腾,覃燕梅X(内江师范学院数学系,四川内江641112)摘要:讨论了解常微分方程的积分因子法在极限理论、微分学、积分学中的一些应用.关键词:积分因子;极限;微分学;积分学中图分类号:O172文献标识码:A文章编号:1671-1785(2006)02-0013-03定义[1]如果存在连续可微的函数L=L(x,y)≠0,使得L(x,y)M(x,y)dx+L(x,y)N(x,y)dy为某一函数的全微分,则称L=L(x,y)为M(x,y)dx+N(x,y)dy的积分因子.通过寻找积分因子解常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的方法称为积分因子法.积分因子法是解常微分方程的重要方法之一,本文将这种方法的应用范围进行了推广,用于解决极限理论、微分学、积分学中的一些问题.1积分因子法在极限理论中的应用1-N’(t)xdt定理1设f(x)在[A,+∞)上可微,N(x)在[A+∞)上有连续导数.若lim(N(x)e∫AN(t))=+∞且x→+∞lim(f(x)+N(x)f’(x))=A,其中A为有限数或无穷.则x→+∞limf(x)=A.x→+∞1-N’(t)xdt证明易知e∫AN(t)是f(x)dx+N(x)df(x)的积分因子,于是1-N’(t)xdte∫AN(t)(f(x)+f’(x))f(x)+N(x)f’(x)=1-N’(t)xdte∫AN(t)1-N’(t)xdt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=1-N’(t)xdte∫AN(t)1-N’(t)xdt[2]又由于lime∫AN(t)=+∞,且lim(f(x)+N(x)f’(x))=A,则由洛毕塔法则有x→+∞x→+∞1-N’(t)xdtN(x)e∫AN(t)f(x)limf(x)=lim1-N’(t)xdtx→+∞x→+∞N(x)e∫AN(t)1-N’(t)xdt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=lim1-N’(t)xdtx→+∞(N(x)e∫AN(t))’1-N’(t)xdt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=lim1-N’(t)1-N’(t)x→+∞xdtxdt1-N’(x)(N’(x)e∫AN(t)+N(x)(e∫AN(t))()N(x)1-N’(t)xdt(N(x)e∫AN(t)f(x))’=lim1-N’(t)xdtx→+∞e∫AN(t)=lim(f(x)+N(x)f’(x))x→+∞=A.证毕.1-N’(t)xdt注1积分因子e∫AN(t)巧妙的将已知和结论联系起来,成为了定理1证明的关键.推论1设f(x)在[A,+∞)内可微,且lim(f(x)+kf’(x))=A.其中k>0,A为有限数或无穷.证明x→+∞limf(x)=A.x→+∞证明令N(x)=k,显然,N(x)在[A,+∞)上有连续导数.且收稿日期:2005-09-13作者简介:曾德强(1979-),男,四川宜宾人,内江师范学院助教。·14·内江师范学院学报第21卷第2期1-N’(t)xxdtlim(N(x)e∫AN(t))=lim(kek)=+∞.x→+∞x→+∞由定理1可知limf(x)=A.x→+∞证毕.例1设f(x)在(0,+∞)内可微,且lim(f(x)+f’(x))=0,证明x→+∞limf(x)=0.x→+∞证明令k=1,A=0,由推论1知命题成立.证毕.注2此例的其它解法读者可参看文献[3].2积分因子法在微分学中的应用定理2设f(x)在[a,b]上非负连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,若存在[a,b]上连续函数N(x),使得ûf’(x)û≤N(x)f(x)(a<x<b).则f(x)≡0(a≤x≤b).证明由N(x)在[a,b]上连续,则存在常数M>0,使得ûN(x)û≤M(a≤x≤b).于是ûf’(x)û≤N(x)f(x)≤Mf(x)(a<x<b).(3)考虑Mf(x)dx-df(x),易知e-Mx是其积分因子,则有e-Mx(Mf(x)-f’(x))Mf(x)-f’(x)=e-Mx-(e-Mxf(x))’=e-Mx而由f(x)>0,(a<x<b)和(3)可知Mf(x)-f’(x)≥ûf’(x)û-f’(x)≥0故-(e-Mxf(x))’≥0e-Mx即(e-Mxf(x))’≤0上式两端从a到t(a<t≤b)积分tt(e-Mxf(x))’dx