第３期李学民．数值计算方法在高斯投影反算中的应用７５文章编号：１６７２—８２６２（２００８）０３—７５—０３中图分类号：Ｐ２２６文献标识码：Ｂ数值计算方法在高斯投影反算中的应用李学民（河南省测绘工程院，河南郑州４５０００３）摘要：以子午线弧长的数学模型为基础，构造了求底点纬度的牛顿迭代算法，并对牛顿迭代法的适用条件进行了说明，经过实例计算，该方法具有计算简便、精度高等特点。关键词：高斯投影；底点纬度；牛顿迭代法ｌ引言这就是牛顿迭代法。牛顿迭代法在非线性方程的在大地测量中，高斯投影反算问题是一个重要的解算中应用广泛，具有显著的优越性。牛顿迭代法具测量学问题。通过高斯投影反算公式可以看出底点纬有局部收敛性，在实际问题中，当实际问题本身能提供度Ｂ是一个非常重要的参数。当Ｂ的值确定以后，接近于根的初始近似值时，就可保证迭代序列收敛；当高斯投影反算问题就迎刃而解。在各种文献中，一般初值难以确定时，由（２）式确定的就不一定收敛。为是构造直接计算Ｂ的公式。在实际工作中，还可以以此，需考虑牛顿迭代法的非局部收敛性。下面给出牛子午线弧长的数学模型为基础来确定Ｂ的值。这样顿迭代法非局部收敛的条件：设＿厂（）在有根区间［。，ｂ］上二阶导数存在，且满求Ｂ的问题就转化为求一元非线性方程的解。非线性方程的求解是一个常见的问题，通常是将非线性方足：＜。）八ｂ）＜０；程线性化为级数形式后求解。但这种方法对于精度要②厂（）０，∈［。，ｂ］；求较高时，线性化过程既费时费力，又非常繁琐、冗长，③厂（）不变号，∈［。，ｂ］；很容易出错。现在随着计算机技术的迅猛发展和计算④初值。∈［。，ｂ］且使（。）。）＞０。机编程语言的普及，我们可以借助于比较成熟的数值则牛顿迭代序列｝收敛于ｆ（）＝０在［。，ｂ］内计算方法，把大部分计算工作交给计算机去完成，把更的唯一根。条件①保证了根的存在；条件②表明函数多的精力放到问题的解决方法上。下面就介绍利用非单调，根唯一；条件③表明＿厂（）的图形在［。，ｂ］上凹向线性方程的数值解法来计算高斯投影反算中Ｂ的详不变；条件④规定了初值。的选取条件。细过程。２．２求Ｂ的牛顿迭代法曰２底点纬度Ｂ的牛顿迭代法以子午线弧长公式＝。（１一ｅ）Ｉｒ（１—３０２．１牛顿迭代法原理。ｅｓｉｎ。Ｂ）～ＷｄＢ构造关于Ｂ的一元方程：牛顿迭代法是用近似方程来代替原方程，通过迭Ｂｒ）＝ｎ（１一ｅ）ｆ＆（１一ｅ２ｓｉｎＢｆ）一手ｄＢ，一（３）代计算求原方程解的方法。设已知方程＿厂（）＝０有近Ｊ０似根（假定ｆ（）０），将函数ｆ（）在点处泰勒对（３）式求Ｂ的一阶导数，得展开，有＿厂（Ｂｆ）＝ｎ（１一ｅ）（１一ｅ２ｓｉｎＢｆ）（４）／＜）＜）＋（）（—）对（３）式求Ｂ的二阶导数，得于是方程＿厂（）＝０可近似地表示为（Ｂｆ）＝÷ｎｅ０（１～ｅ）（１一ｅ２ｓｉｎＢｆ）一号ｓｉｎ２Ｂｆ（５）／＜ｋ）＋（）（—）＝０记（１）式的根为，则川的计算公式为由（３）式可知八０）八７７＂）＜０；由（４）和（５）式可知Ｘｋ＋ｌ＝Ｘｋ一（，ｌ，，２，ｚ，……）（２）ｆ（Ｂ）０（Ｂ）≥０（不变号），Ｂ∈［０，］。满足牛￥收稿日期：２ｏ０８—Ｏ２—２８作者简介：李学民（１９７３一），男，工程师，主要从事测绘工作。