2013金融数学第五讲(期权定价：二叉树方法)一个简单的二叉树模型StockPrice=$22OptionPrice=$1一个简单的二叉树模型考虑一个资产组合:持有D份股票成为一份看涨期权的空头当22D–1=18DorD=0.25，资产组合是无风险的资产组合的估值(无风险利率为12%)期权的估值推广到一般情形推广到一般情形(continued)推广到一般情形(continued)推广到一般情形(continued)Risk-NeutralValuation最初例子的修正期权的估值两步二叉树模型欧式看涨期权的估值一个看跌期权的例子：X＝52美式期权该如何估值？1二叉树期权定价模型1.1二叉树模型的基本方法熟悉1.2基本二叉树方法的扩展熟悉1.3构造树图的其他方法和思路了解1.4二叉树定价模型的深入理解熟悉2蒙特卡罗模拟2.1蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉2.2蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉2.3减少方差的技巧了解2.4蒙特卡罗模拟的理解和应用了解3有限差分方法3.1隐性有限差分法熟悉3.2显性有限差分法熟悉3.3有限差分方法的比较分析和改进了解3.4有限差分方法的应用了解1、从开始的上升到原先的倍，即到达；二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动二叉树模型可分为以下几种方法：（一）单步二叉树模型1.无套利定价法2.风险中性定价法3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构4.证券价格的树型结构（三）倒推定价法5.倒推定价法二叉树方法的一般定价过程－以无收益证券的美式看跌期权为例6.一般定价过程构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头当则组合为无风险组合在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：一般而言，在时刻，证券价格有种可能，它们可用符号表示为：得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。假设把一期权有效期划分成N个长度为的小区间，同时用表示结点处的证券价格可得：其中假定期权不被提前执行，后，则：（表示在时间时第j个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：1.2基本二叉树方法的扩展支付连续红利率资产的期权定价支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价）可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为：将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。利率是时间依赖的情形假设，即在时刻的结点上，其应用的利率等于到时间内的远期利率，则：的二叉树图三叉树图每一个时间间隔内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的上升到原先的倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的倍，即一些相关参数：控制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：（代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A的更优估计值为：在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance随机路径：在风险中性世界中，为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为