一维无限深方势阱有限深对称方势阱三个区的解分别为如果只对问题的本征值感兴趣，不想求出波函数，也可使用边界上波函数对数的导数连续，即x=±a/2处的边界条件由k和k’的表达式可知，δ=0，边界条件为用图解法即可定出相应能谱。由于上方程各分支曲线都不经过原点，这两个条件有无交点要看V0a2的数值而定。讨论：势阱外波函数为衰减解，不为0，粒子有一定概率能到达阱外。能量为E的粒子能到达（V>E）阱外的现象在经典理论中是不可能的。量子力学中，粒子有波动性，有一定概率出现在阱外。3.2.3束缚态与离散谱10定性讨论能量本征值及波函数节点数当粒子能量增加时，在|x|>a/2，ψ(x)的曲率减小。|x|<a/2时，ψ(x)的振荡加快。在某个能量E处，ψ(x)在|x|<a/2内经历一次振荡，并出现一个节点，并且能与外面波函数光滑衔接上，外面解不发散。此时出现第一激发态，有一个节点。方势垒的反射与透射在势垒外（x<0,x>a），经典允许区，两个线性无关解为e±ikx,根据入射边界条件定解。粒子从左入射，由于势垒存在，在x<0区域中既有入射波eikx,也有反射波e-ikx,而在x>a的区域中只有透射波存在。所以，可得到，在势垒内部，经典禁区，通解可写为，消去A,B得消去R，得|R|2表示粒子被反弹回去的概率，|S|2,表示粒子穿过势垒的概率，上式意味着概率守恒。可以看出，即使E<V0,透射系数不为0，粒子能穿透比他动能更高的势垒（遂穿效应），是粒子波动性的表现。E>V0情形令相应有，k2=ik’，利用sh(ik’a)=isin(k’a)，则透射系数为3.2.5方势阱的反射、透射与共振对于给定势阱，透射系数依赖于入射粒子能量E，T(E)随E变化。当满足k’a=nπ，T=1，|R|=0，发生共振透射。第三章一维势场中的粒子3.3δ势x=0是方程的奇点，该点ψ”不存在，表现为ψ’不连续。积分上式，透射系数反射系数讨论：(a)δ势垒换为δ势阱(γ→-γ)，透射及反射系数的值不变.(b)δ势的特征长度为，特征能量为，透射波的振幅S只依赖于，即入射波波长和δ势的特征长度之比。透射系数依赖于特征能量与入射粒子能量之比。当，高能极限下粒子将完全穿透势垒。由于尽管ψ’在x=0点不连续，但粒子流密度连续。则必有：继续下去，可以得出：只当粒子能量取某些离散值的时候，相应的波函数才满足束缚态边界条件。量子力学中，粒子有波动性，有一定概率出现在阱外。然而，量子情况与此不同基态波函数无节点，激发态节点数依次增加一个。这样做的好处是在边界条件等式中消去了待定系数A,B,C，从而绕过对它们的计算而直接去决定本征值E。设三个分区的波函数分别为ψⅠψⅡψⅢ，则三个分区的薛定谔方程分别为自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。厄密多项式的生成函数为但直接采用δ势来求解，往往要简捷的多。对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。在势垒内部，经典禁区，通解可写为，粒子从左入射，由于势垒存在，在x<0区域中既有入射波eikx,也有反射波e-ikx,而在x>a的区域中只有透射波存在。方程的解具有形式e±βx,。由于V(-x)=V(x)，则束缚能量本征态具有确定宇称。A.偶宇称态考虑到束缚态条件，偶宇称波函数应表为:按Ψ′跃变条件，可得粒子能量本征值为B.奇宇称态波函数应表为考虑粒子对方势垒:的散射。考虑粒子能量E<V0的情况。在势垒内部,波函数表为让，但保持为常数。则方势垒将趋于δ势垒。利用关系，3.4一维谐振子研究线性谐振子的意义一般说来，间断型的势场并非严格意义下的物理势场。在物理上V(r)应该是r的连续函数。自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往可以作为复杂运动的初级近似，在此基础上，作各项改进，可以模拟出一些复杂的相互作用。因此，对谐振子运动的研究在量子力学中是非常重要的。由于谐振子运动在选择适当的坐标后，常常可分解为若干彼此独立的一维谐运动，故我们首先研究一维谐振子运动。一般地，处在势场中的粒子在其平衡位置附近作小振动时，可对势场作Taylor展开并只保留到最低阶不为零的项。设平衡位置x0=0,选取能量标度的零点使V(0)=0,在平衡位置处一次项应当消失,即V’(0)=0，一维谐振子的位势可表示为：在